Question

20．如图所示．半径R=0.4m的圆轨道上有一固定光滑斜面AB，半径OB竖直，斜面AB与水平面BC间用一根短的光滑圆弧平滑连接，B、C两点间距L=0.5m，P点位于C点正上方h=8R处，在一小球从P点开始做自由落体运动的同时，有一小滑块从斜面顶端A点由静止开始沿斜面下滑，经过B点后沿水平面做匀减速运动，在C点刚停下时恰好与小球相撞．小球和滑块均可视为质点，取重力加速度g=10m/s²．
（1）小球从p点运动到C点的时间t和滑块在斜面AB上运动的时间t₁；
（2）滑块经过B点时的速率v以及斜面AB的倾角θ的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据自由落体运动的规律求P到C的时间，根据牛顿第二定律求滑块在斜面的加速度，再由位移时间关系式求滑块在斜面AB上运动的时间
（2）求出滑块从B点运动到C点的时间，由位移关系式求出B点的速度，由速度时间关系得出斜面AB的倾角θ的正弦值

解答 解：（1）小球从p点运动到C点做自由落体运动，$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$
解得：$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2×8R}{g}}=\sqrt{\frac{16×0.4}{10}}s=0.8s$
根据牛顿第二定律得滑块在斜面上运动的加速度大小${a}_{1}^{\;}=gsinθ$
滑块在斜面AB上做匀加速运动，则$2Rsinθ=\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{2}$
得${t}_{1}^{\;}=2\sqrt{\frac{R}{g}}=0.4s$
（2）滑块从B点运动到C点的时间${t}_{2}^{\;}=t-{t}_{1}^{\;}=0.4s$
则由匀变速直线运动公式得$L=\frac{v}{2}{t}_{2}^{\;}$
得v=2.5m/s
滑块在斜面AB上做匀加速运动，则$v={a}_{1}^{\;}{t}_{1}^{\;}$
得$sinθ=\frac{5}{8}$
答：（1）小球从p点运动到C点的时间t为0.8s和滑块在斜面AB上运动的时间${t}_{1}^{\;}$位0.4s；
（2）滑块经过B点时的速率v为2.5m/s以及斜面AB的倾角θ的正弦值为$\frac{5}{8}$．

点评 解决本题时要知道加速度是联系力和运动的桥梁，是牛顿第二定律和运动学公式结合应用时必求的量，同时要抓住自由落体运动和滑块运动的同时性，研究两个物体运动时间关系．