Question

6．如图所示，一质量为m=1.5kg的滑块从倾角为θ=37°的斜面上自静止开始滑下，滑行距离s=10m后进入半径为R=9m的光滑圆弧轨道AB，其圆心角为θ，然后水平滑上与平台等高的小车．已知小车质量为M=3.5kg，滑块与斜面及小车表面的动摩擦因数μ=0.35，小车足够长，取g=10m/s²．求：
（1）滑块在斜面上的滑行时间t₁及到达A点的速度大小v_A
（2）滑块脱离圆弧末端B点前轨道对滑块的支持力大小；
（3）小车匀速时的速度大小及滑块在车上滑行的距离S₁．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律及匀变速直线运动的规律即可求出时间及到达A的速度；
（2）根据动能定理求出速度，然后根据牛顿第二定律求出支持力的大小；
（3）求出m和M的加速度，根据匀变速直线运动的规律求出运动时间及运动距离．

解答 解：（1）滑块在斜面上的滑行加速度a，由牛顿第二定律，有：
mg（sinθ-μcosθ）=ma₁
解得：
a=g（sinθ-μcosθ）=10×（0.6-0.35×0.8）=3.2m/s²
根据位移公式，有：
s=$\frac{1}{2}$at₁²
解得：t₁=2.5s
到达A点的速度大小：v_A=at₁=3.2×2.5=8 m/s
（2）滑块在圆弧AB上运动过程，由动能定理：
$\frac{1}{2}$mv_A²+mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv_B²
由牛顿第二定律，有：
F_B-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得轨道对滑块的支持力：
F_B=31.7N
（3）滑块在车上滑行时的加速度：
a₁=μg=3.5m/s²
小车的加速：
a₂=$\frac{m}{M}$μg=1.5m/s²
小车与滑块达到共同速度时小车开始匀速运动，满足：
v_B-a₁t₂=a₂t₂
解得：
t₂=2 s
小车匀速运动时的速度：
v=a₂t₂=1.5×2=3m/s
小车运动的距离：
s_车=$\frac{1}{2}$a₂t₂²=$\frac{1}{2}×1.5×{2}^{2}$=3m
滑块运动的距离：
s_滑块=v_Bt₂-$\frac{1}{2}$a₁t₂²=13m
所以，滑块在车上滑行的距离s₁=s_车-s_滑块=10m
答：（1）滑块在斜面上的滑行时间为2.5s，到达A点的速度大小8m/s；
（2）滑块脱离圆弧末端B点前轨道对滑块的支持力大小为31.7N；
（3）小车匀速时的速度大小为3m/s，滑块在车上滑行的距离为13m．

点评 此题考查动能定理及牛顿第二定律的应用，属于多过程问题，需要分阶段求解，中档题．