Question

（2009?金山区二模）如图所示，长为L的细绳，一端系有一质量为m的小球，另一端固定在O点．细绳能够承受的最大拉力为7mg．现将小球拉至细绳呈水平位置，然后由静止释放，小球将在竖直平面内摆动．如果在竖直平面内直线OA（OA与竖直方向的夹角为θ）上某一点O′钉一个小钉，为使小球可绕O′点在竖直平面内做圆周运动，且细绳不致被拉断，求：OO′的长度d所允许的范围．

Answer 1

分析：设小球绕O点在竖直面内做完整圆周运动的半径为r，恰能过最高点时速度为v_D，根据向心力公式求出最高点速度，由水平到最高点，由机械能守恒定律求得最大半径，对小球在小圆最低点时由向心力公式结合机械能守恒定律出最小半径，进而求出半径的范围，由于d=L-r，即可求出d的范围．

解答：解：为使小球能绕O′点做完整的圆周运动，则小球在最高点D对绳的拉力F₁应该大于或等于零，即有：mg≤m

V 2 D

L-d

①
根据机械能守恒定律可得：

1

2

m

V

2 D

=mg[dcosθ-(L-d)]②
因为小球在最低点C对绳的拉力F₂应该小于或等于7mg，即有：F2-mg=m

V 2 c

L-d

≤7mg-mg③
根据机械能守恒定律可得：

1

2

m

V

2 c

=mg[dcosθ+(L-d)]④
由①②③④式解得：

3L

3+2cosθ

≤d≤

2L

2+cosθ

．     
答：OO′的长度d所允许的范围为

3L

3+2cosθ

≤d≤

2L

2+cosθ

．

点评：本题主要考查了机械能定理及向心力公式的应用，要注意小球能最高点对速度有要求，在最低时绳子的拉力不能超过最大承受力，难度适中．