Question

12．如图所示，相距为d的狭缝P、Q间存在着方向始终与P、Q平面垂直、电场强度大小为E的匀强电场，且电场的方向按一定规律分时段变化．狭缝两侧均有磁感强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，且磁场区域足够大．某时刻从P平面处由静止释放一个质量为m、带电荷为q的带负电的粒子（不计重力），粒子被加速后由A点进入Q平面右侧磁场区，以半径r₁做圆运动，此时电场的方向已经反向，当粒子由A₁点自右向左通过Q平面后，使粒子再次被加速进入P平面左侧磁场区做圆运动，此时电场又已经反向，粒子经半个圆周后通过P平面进入PQ狭缝又被加速，…．以后粒子每次通过PQ间都被加速．设粒子自右向左穿过Q平面的位置依次分别是A₁、A₂、A₃、…A_n…，求：
（1）粒子第一次在Q右侧磁场区做圆运动的半径r₁的大小；
（2）粒子第一次和第二次自右向左通过Q平面的位置A₁和A₂之间的距离；
（3）设A_n与A_n+1间的距离小于$\frac{{r}_{1}}{3}$，则n值为多大？

Answer 1

分析 （1）带电粒子被电场加速，可以使用动能定理求出它的速度，在磁场中洛伦兹力提供向心力，可以求出粒子的半径；
（2）先根据洛伦兹力提供向心力求解轨道半径，然后结合几何关系求解A₁和A₂之间的距离；
（3）根据第二问的原理求出第n次通过Q时的半径和第n+1次通过Q时的半径，根据A_n与A_n+1间的距离小于$\frac{{r}_{1}}{3}$列式求解即可．

解答 解：（1）带电粒子被电场加速，由动能定理：$qEd=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
洛伦兹力提供向心力：$Bq{v}_{1}=m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{{r}_{1}}$
解得：${r}_{1}=\frac{m}{Bq}\sqrt{\frac{2qRd}{m}}$
（2）带电粒子第二次被电场加速，由动能定理：$qRd=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
洛伦兹力提供向心力：$Bq{v}_{2}=m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{{r}_{2}}$
解得：${r}_{2}=\frac{m}{Bq}\sqrt{\frac{2×2qRd}{m}}$
同理，通过A₂时的半径：${r}_{3}=\frac{m}{Bq}\sqrt{\frac{3×2qRd}{m}}=\sqrt{3}{r}_{1}$
所以：$\overline{{A}_{1}{A}_{2}}=2{r}_{3}-2{r}_{2}=2（\sqrt{3}-\sqrt{2}）\frac{m}{Bq}\sqrt{\frac{2qRd}{m}}$
（3）第n次通过Q时的半径：${r}_{2n-1}=\sqrt{2n-1}{r}_{1}$
第n+1次通过Q时的半径：${r}_{2n+1}=\sqrt{2n+1}{r}_{1}$
若A_n与A_n+1间的距离小于$\frac{{r}_{1}}{3}$，即：${r}_{2n+1}-{r}_{2n-1}=\sqrt{2n+1}{r}_{1}-\sqrt{2n-1}{r}_{1}$$＜\frac{{r}_{1}}{3}$
得：$\sqrt{2n+1}-\sqrt{2n-1}＜\frac{1}{3}$
当n≥5时，满足上面的条件．
答：（1）粒子第一次在Q右侧磁场区做圆运动的半径r₁的大小为$\frac{m}{Bq}\sqrt{\frac{2qRd}{m}}$；
（2）粒子第一次和第二次自右向左通过Q平面的位置A₁和A₂之间的距离为$2（\sqrt{3}-\sqrt{2}）\frac{m}{Bq}\sqrt{\frac{2qRd}{m}}$；
（3）设A_n与A_n+1间的距离小于$\frac{{r}_{1}}{3}$，则n值应大于等于5．

点评 本题关键是充分应用题给条件研究粒子第n次进入电场时的速度，穿出电场时速度．动能定理是常用的方法，知道带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，难度适中．