Question

【题目】如图所示，一气缸放在大气中，大气压，活塞质量，面积，活塞下连一弹簧，原长为，劲度系数，活塞与缸壁都不导热，而活塞与缸壁之间存在摩擦，旦大小恒为．假设摩擦产生的热有一半被活塞下的气体吸收，活塞下有的理想单原子气体，初态，温度℃，固定活塞，在活塞上放上质量为的木块后，释放活塞（取），木块脱离活塞后不再回来，求：

（1）活塞上升达到的最大高度（相对于气缸底部）；

（2）活塞上升达到最大高度时气体的状态参量，即压强、体积、温度

Answer 1

【答案】（1） (2) 气体的压强，体积，温度℃．

【解析】

（1）设活塞至缸底的距离为，以、、表示气体的状态参量，则有，

即． ①

依题意，由热力学第一定律有． ②

由①②两式可得． ③

对上式考虑到初始条件，有，即有．

此式说明，气体在变化过程中，其压强保持不变，为等压道程．

对活塞与木块整体进行受力分析，其受力如图所示，有活塞在平衡位置时有

，

解得． ④

活塞在分离木块位置时，活塞的加速度为，此时应有，

解得． ⑤

由于、、、均为恒力，则系统的运动是在弹力作用的简谐运动，且

（木块脱离前），

<>（木块脱离后）． ⑥

对气体的初态进行分析，有，解得．

所以，木块脱离前活塞振动的振幅为．

则活塞用表示的振动方程为．

于是，

代入，得，．

此后，振动的平衡位置发生变化，平衡位置满足

，解得．

且新的振幅满足．

故振动方程为．

代入时，，得．

又，

当时，．

此时，则活塞相对于气缸底部上升到达的总高度为

．

（2）活塞上升达到最大高度时，

气体的压强，

体积，

温度℃．

说明：对于本题的解答，如不能作出气体的变化过程是等压变化，那么，我们也许会经历如下的解答过程．

设开始时，弹簧的长度为，则由克拉珀龙方程，有，解得．

释放活塞时，有，即活塞会向上运动．

木块脱离活塞时，其应具有向下的加速度，设此时弹簧的长度为，且，气体的压强为，温度为，所以，对活塞有．

对气体有．

对系统有

．

此后，活塞继续上升，上升到最大高度时，设弹簧的长度为，且，气体的压强为，温度为，所以，对系统有

．

对气体有．

至此，我们应该进入到解方程的阶段，但基本上会是无功而返．