Question

5．如图所示为一遥控电动赛车（可视为质点）和它运动轨道示意图．假设在某次演示中，赛车从A位置由静止开始运动，经2s后关闭电动机，赛车继续前进至B点后水平飞出，赛车能从C点无碰撞地进入竖直平面内的圆形光滑轨道，D点和E点分别为圆形轨道的最高点和最低点．已知赛车在水平轨道AB段运动时受到的恒定阻力为0.4N，赛车质量
为0.4kg，通电时赛车电动机的输出功率恒为2W，B、C两点间高度差为0.45m，C与圆心O的连线和竖直方向的夹角α=37°，空气阻力忽略不计，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）赛车通过C点时的速度大小；
（2）赛道AB的长度；
（3）要使赛车能通过圆轨道最高点D后回到水平赛道EG，其半径需要满足什么条件．

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动规律求得竖直方向分速度，再由速度方向求得速度；
（2）根据平抛运动规律求得在B点的速度，然后由动能定理即可求得AB的长度；
（3）根据牛顿第二定律求得在D点的速度范围，然后根据圆轨道上机械能守恒求得半径范围．

解答 解：（1）赛车在BC间做平抛运动，则赛车在C点的竖直方向分速度${v}_{y}=\sqrt{2gh}=3m/s$，那么，由赛车能从C点无碰撞地进入竖直平面内的圆形光滑轨道可知：赛车速度与圆弧轨道相切，故赛车在C点的速度${v}_{C}=\frac{{v}_{y}}{cos53°}=5m/s$；
（2）由平抛运动规律可知：赛车做平抛运动的水平方向分速度不变，即物体在B点的速度v_B=v_Csin53°=4m/s；
那么，由赛车在AB上运动只有牵引力、阻力做功，故由动能定理可得：$Pt-f{L}_{AB}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，所以，${l}_{AB}=\frac{Pt-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}}{f}=2m$；
（3）要使赛车能通过最高点D，那么有：$\frac{m{{v}_{D}}^{2}}{R}≥mg$；
又有赛车在圆轨道上运动只有重力做功，机械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{D}}^{2}+mgR（1+cos37°）≥2.3mgR$，所以，$R≤\frac{{{v}_{C}}^{2}}{4.6g}=\frac{25}{46}m$；
答：（1）赛车通过C点时的速度大小为5m/s；
（2）赛道AB的长度为2m；
（3）要使赛车能通过圆轨道最高点D后回到水平赛道EG，其半径$R≤\frac{25}{46}m$．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．