Question

如图所示，一平板小车静止在光滑水平面上，质量均为m的物体A、B分别以2v₀和v₀的初速度，沿同一直线同时同向水平滑上小车，刚开始滑上小车的瞬间，A位于小车的最左边，B位于距小车左边l处．设两物体与小车间的动摩擦因数均为μ，小车的质量也为m，最终物体A、B都停在小车上．求：
（l）最终小车的速度大小是多少？方向怎样？
（2）若要使物体A、B在小车上不相碰，刚开始时A、B间的距离l至少多长？

Answer 1

分析：（1）由动量守恒列出等式求解
（2）A、B同时滑上小车后，它们均做匀减速直线运动．当B减速到与小车的速度相同时，B与小车相对静止，此后A继续做匀减速直线运动，B与小车做匀加速直线运动，直至它们达到相同的速度，由运动学知识和动量守恒列出等式．当B与小车相对静止，由能量守恒定律求出此后A在小车上相对小车移动的距离．

解答：解：（1）设小车最终的速度是v，由动量守恒可得：
m?2v₀+m?v₀=3 m?v   ①
由①式解得：v=v₀ 方向水平向右  ②
（2）A、B同时滑上小车后，它们均做匀减速直线运动．当B减速到与小车的速度相同时，B与小车相对静止，此后A继续做匀减速直线运动，B与小车做匀加速直线运动，直至它们达到相同的速度v₀，设刚开始时A、B间的距离l．
由图可知：B与小车相对静止时的共同速度是v_B1，此时A的速度是v_A1，由运动学知识和动量守恒可得：
m?2v₀+m?v₀=2 m?v_B1+m?v_A1   ③
在B停止运动前，A、B所受的滑动摩擦力f_A=f_B，它们的加速度a_A1=a_B1，此时小车所受的力：F=-2f_A  ④
小车的加速度：a=-2 a_A1=-2 a_B1  ⑤
由图可知：

vB1

t1

=-2

vB1-v0

t1

⑥

vB1

t1

=2μg⑦
由⑥⑦式解得：vB1=

2

3

v0⑧
t₁=

v0

3μg

⑨
由图可知：

vB1-v0

t1

=

vA1-2v0

t1

⑩
由⑧⑨式解得：vA1=

5

3

v0（11）
当B与小车相对静止，此后A在小车上相对小车移动的距离是l_x，由能量守恒定律可知：

1

2

mvA_2+

1

2

2m?vB_2-

1

2

3mv2=μmgl_x  （12）
由以上式子解得：l_x=

v02

3μg

（13）
在t₁前，A、B移动的位移分别是s_A1、s_B1，由图可知：
s=s_A1-s_B1=（2v₀-v₀）?t₁  （14）
由⑨（11）（14）式解得：s=

v02

3μg

（15）
所以：l=s+l_x  （16）
由上式解得：l=

2v02

3μg

（17）
答：（l）最终小车的速度大小是v₀ 方向水平向右
（2）若要使物体A、B在小车上不相碰，刚开始时A、B间的距离l至少

2v02

3μg

点评：解决该题关键要对研究对象受力分析，根据受力情况分析其运动情况，运用牛顿第二定律和运动学公式以及几何关系求解．