Question

假设在半径为R的某天体上发射一颗该天体的卫星，若这颗卫星在距该天体表面高度为h的轨道做匀速圆周运动，周期为T，已知万有引力常量为G，求：
（1）该天体的质量是多少？
（2）该天体的密度是多少？
（3）该天体表面的重力加速度是多少？
（4）该天体的第一宇宙速度是多少？

Answer 1

（1）卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，有：
G

Mm

(R+h)2

=m(

2π

T

)2(R+h)
解得：
M=

4π2(R+h)3

GT2

①
（2）天体的密度：
ρ=

M

V

=

4π2(R+h)3 GT2

4 3 πR3

=

3π(R+h)3

GT2R3

；
（3）在天体表面，重力等于万有引力，故：
mg=G

Mm

R2

②
联立①②解得：
g=

4π2(R+h)3

R2T2

③
（4）该天体的第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，根据牛顿第二定律，有：
mg=m

v2

R

④
联立③④解得：
v=

gR

=

4π2(R+h)3 RT2

；
答：（1）该天体的质量是

4π2(R+h)3

GT2

；
（2）该天体的密度是

3π(R+h)3

GT2R3

；
（3）该天体表面的重力加速度是多

4π2(R+h)3

R2T2

；
（4）该天体的第一宇宙速度是

4π2(R+h)3 RT2

．