Question

18．如图所示，竖直平面（纸面）内有平面直角坐标系xOy，x轴沿水平方向．在x＞-L的区域有垂直平面向里的匀强磁场，在-L＜x＜O的区域有场强大小为E、方向沿x轴负方向的匀强电场．有一个带正电的小球由A（-2L，O）点沿x轴正方向水平抛出，从R点进入-L＜x＜O区域并沿直线RQ运动到Q（O，-$\frac{3L}{2}$）点．在x＞O的区域有另一匀强电场，小球经过Q点后恰能做匀速圆周运动并打在P点的标靶上．已知重力加速度为g，试求：
（1）RQ与x轴正方向的夹角θ和初速度v₀．
（2）小球的比荷$\frac{q}{m}$和匀强磁场的磁感应强度B．
（3）小球从A点运动到标靶P所经历的时间t．

Answer 1

分析 （1）小球开始时做平抛运动，将运动分解即可求出小球的末速度与x轴之间的夹角关系，然后画出运动的轨迹，结合几何关系即可求出；
（2）带电小球在x＜0的区域内做匀速直线运动，分析受力情况，由平衡条件判断小球的比荷和磁感应强度B；
（3）分段求时间，匀速直线运动过程，根据位移和速率求解；匀速圆周运动过程，画出轨迹，根据轨迹的圆心角求时间．

解答 解：（1）小球在开始时做平抛运动，水平方向：
L=v₀t₁
竖直方向设竖直方向的最大速度为v_y，则：
v_y=gt₁，${y}_{1}=\frac{1}{2}{v}_{y}•{t}_{1}$
小球在电场中的偏转角θ，则：$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{0}}$
小球在-L≤x≤0的区域做匀速直线运动，则运动的时间：
${t}_{2}=\frac{L}{{v}_{x}}=\frac{L}{{v}_{0}}={t}_{1}$
y方向的位移：y₂=v_y•t₁
小球在竖直方向的总位移：y=y₁+y₂=$\frac{3}{2}L$
联立以上方程得：${t}_{2}={t}_{1}=\sqrt{\frac{L}{g}}$，θ=45°，${v}_{0}=\sqrt{gL}$   ①
（2）小球在-L≤x≤0的区域做匀速直线运动，受到重力、电场力和洛伦兹力的作用，合力为0，如图：
则：$tanθ=\frac{qE}{mg}$
得：$\frac{q}{m}=\frac{gtanθ}{E}=\frac{g}{E}$
小球做直线运动的速度：$v=\frac{{v}_{0}}{cos45°}=\sqrt{2}{v}_{0}$
则小球受到的洛伦兹力：f=qvB=$\frac{mg}{cos45°}$
所以：$B=\frac{mg}{qv•cos45°}=\frac{E}{{v}_{0}}=\frac{E}{\sqrt{gL}}$   ②
（3）由图可知，小球在磁场中运动的时间是$\frac{3}{4}$圆周，则运动的时间是$\frac{3}{4}T$
洛伦兹力提供向心力得：$qvB=\frac{m{v}^{2}}{R}$
所以小球做圆周运动的周期：T=$\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$
小球在磁场中运动的时间：${t}_{3}=\frac{3}{4}T=\frac{3}{4}×\frac{2πm}{qB}=\frac{3π{v}_{0}}{2g}$=$\frac{3π}{2}•\sqrt{\frac{L}{g}}$③
小球运动的总时间：t=t₁+t₂+t₃=$\sqrt{\frac{L}{g}}+\sqrt{\frac{L}{g}}+\frac{3π}{2}•\sqrt{\frac{L}{g}}$=$\frac{4+3π}{2}•\sqrt{\frac{L}{g}}$   ④
答：（1）RQ与x轴正方向的夹角θ是45°，初速度是$\sqrt{\frac{L}{g}}$．
（2）小球的比荷$\frac{q}{m}$是$\frac{g}{E}$，匀强磁场的磁感应强度B是$\frac{E}{\sqrt{gL}}$．
（3）小球从A点运动到标靶P所经历的时间是$\frac{4+3π}{2}•\sqrt{\frac{L}{g}}$．

点评 本题是带电体在复合场中运动的类型，分析受力情况和运动情况是基础，小球做匀速圆周运动时，画出轨迹，由几何知识确定圆心角是求解运动时间的关键．