Question

1．如图（a）所示，倾斜放置的光滑平行导轨，长度足够长，宽度L=0.4m，自身电阻不计，上端接有R=0.3Ω的定值电阻．在导轨间MN虚线以下的区域存在方向垂直导轨平面向上、磁感应强度B=0.5T的匀强磁场．在MN虚线上方垂直导轨放有一根电阻r=0.1Ω的金属棒．现将金属棒无初速度释放，其运动时的v-t图象如图（b）所示，重力加速度取g=10m/s²．求：

（1）斜面的倾角θ和金属棒的质量m；
（2）在2～5s时间内定值电阻R产生的热量Q是多少（结果保留一位小数）．

Answer 1

分析 （1）由v-t图象可知，金属棒先匀加速运动，进入磁场后做变加速运动，最后做匀速运动．读出加速度，根据牛顿定律求解．
（2）金属棒的机械能减小，转化为内能．运用能量守恒定律求解．

解答 解：（1）在0～2s时间内，金属棒受力如图所示：
合力：F_合=mgsinθ，
由牛顿第二定律得：F_合=ma，
解得：a=gsinθ，
由图（b）所示图象可得：a=$\frac{12-0}{2}$=6m/s²，
即：gsinθ=6m/s²，
解得：θ=37°；
由图（b）所示图象可知，在t=5s之后金属棒做匀速运动，速度：v₂=6m/s；
金属棒处于平衡状态，受平衡力作用，沿轨道平面有：F_安=mgsinθ，
感应电动势：E=BLv₂，
感应电流：I=$\frac{E}{R+r}$，
安培力：F_安=BIL，
即：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{2}}{R+r}$=mgsinθ，
代入数据解得：m=0.1kg；
（2）由图（b）所示图象可知，在2～5s内，
金属棒初速度v₁=12m/s，末速度v₂=6m/s．
对该过程，由动能定理得：mgssinθ-W_安=$\frac{1}{2}mv_2^2-\frac{1}{2}mv_1^2$，
2～5s内金属棒位移为v-t图象相对应的“面积”：
s=（15×6+22）×1×0.2m=22.4m，
功是能量转化的量度，在2～5s过程安培力对金属棒做功：W_安=Q，
代入数据解得：Q=18.8J，
电阻R产生的热量：Q_R=$\frac{3}{4}$Q=$\frac{3}{4}$×18.8=14.1J；
答：（1）斜面的倾角θ为37°，金属棒的质量m为0.1kg；
（2）在2～5s时间内定值电阻R产生的热量Q是14.1J．

点评 本题电磁感应中的力学问题，电磁与力联系桥梁是安培力，这种类问题关键在于安培力的分析和计算．发掘图象隐含的条件是本题另一个关键．