Question

【题目】如图所示，在坐标系内，时，一质量为的小球以的正方向速度开始运动，与0点间连接着一劲度系数为，原长的弹簧，且，现有一小狗从点出发，追球，且追踪时线路满足如下规律：（出发时）

（1）任意时刻，狗、球、三点共线

（2）任意时刻，狗、球的速度满足：

（下标中，分别表示速度在，方向上的分量）试求：狗追上球的轨迹方程和时间

Answer 1

【答案】详情见解析

【解析】

首先，我们确定的运动轨迹．

如图甲所示分解力，则，

故在、方向上均做简谐运动，可设

则，其中，设为

代入初始条件，则，；，

设，故球轨迹为，为一椭圆

现在我们将新建一坐标，使得新旧坐标满足关系，

故在中轨迹为一圆，且，

另外，在新坐标下的速度与旧坐标的关系为，

而由题意有

则，所以，

而在系中，狗、球、三点共线，则，故，

所以，

所以中，狗、球、依然共线

即在新坐标系中，问题转化为球沿以为圆心，为半径的圆周做匀速圆周运动，而狗以相同速率去追球，且保证狗、球、三点共线，我们进行小量分析，设时刻，狗在的位置，此极坐标是以为极点，为极轴建立的，则如图所示．

设．

故而

令，则，

而，所以，

开始时，，所以，，即（这是极坐标下圆的方程）

从而在中，狗的轨迹方程为

故在中，狗的轨迹方程为，其中

从而易知