Question

如图所示，地面和半圆轨道面PTQ均光滑。质量M =" l" kg、长L =" 4" m的小车放在地面上，右端与墙壁的距离为s =" 3" m，小车上表面与半圆轨道最低点P的切线相平。现有一质量m =" 2" kg的滑块(不计大小)以v₀ =" 6" m/s的初速度滑上小车左端，带动小车向右运动。小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上，已知滑块与小车表面的滑动摩擦因数μ = 0.2，g取10 m/s²。求：
(1)判断小车与墙壁碰撞前是否已与滑块相对静止并求小车与墙壁碰撞时滑块的速度；
(2)若滑块在圆轨道滑动的过程中不脱离轨道，求半圆轨道半径R的取值范围。

Answer 1

（1）小车与墙壁碰撞前滑块与小车相对静止； V_t=4m/s （2）R≤0.24m或R≥0.60m

（1）由牛顿第二定律，对滑块：-μmg=ma₁          (1分)
对小车：μmg=Ma₂          （1分）
但滑块相对小车静止时，两者速度相等，即：
v₀+a₁t=a₂t                  （1分）
此时 v₁=v₂=4m/s              （1分）
滑块的位移为：s₁=v₀t+a₁t²     （1分）
滑块与小车的相对位移为：L₁=s₁-s₂          （1分）
联立解得，L₁=3m，s₂=2m                  （2分）
因L₁<L，s₂<s，说明小车与墙壁碰撞前滑块与小车已具有共同速度，且共速时小车与墙壁还未发生碰撞，故小车与墙壁碰撞时的速度为：
V_t=4m/s                                   （1分）
（2）与墙碰后滑块将在小车上继续向右做初速度为v₁=4m/s，位移为L₂=L-L₁=1m的匀减速运动，然后滑上圆轨道的最低点P。
若滑块恰能滑过圆的最高点，设滑至最高点的速度为v，临界条件为
Mg=mv²/R                     （2分）
根据动能定理，有
-μmgL₂-mg·2R=mv²-mv₁²       （2分）
解得 R=0.24m                      （1分）
若滑块恰好滑至1/4圆弧到达T点时就停止，则滑块也能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道。
根据动能定理，有
-μmgL₂-mgR=0-mv₁²                （2分）
解得R=0.6m                          （1分）
综上所述，滑块在圆轨道运动过程中不脱离圆轨道，则半圆轨道的半径必须满足：
R≤0.24m或R≥0.60m                   （1分）