Question

17．如图所示，水平地面上有一个坑，其竖直截面为半圆，O为圆心，且AB为沿水平方向的直径，圆弧上有一点C，且∠BOC=60°．若在A点以初速度v₀沿水平方向抛出一个质量为m的小球，小球将击中坑壁上的C点．重力加速度为g，圆的半径为R，下列说法正确的是（　　）

• A． 小球击中C点时速度与水平方向的夹角为30°
• B． 小球飞行的时间为$\frac{{2\sqrt{3}{V_0}}}{3g}$
• C． 只要速度v₀与R满足一定的关系，小球在C点能垂直击中圆弧
• D． 不论v₀取多大值，小球都不可能在C点垂直击中圆弧

Answer 1

分析 平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，结合运动学公式求出小球飞行的时间．抓住小球某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，分析小球能否垂直击中C点．

解答 解：A、小球击中C点时，竖直位移y=$Rsin60°=\frac{\sqrt{3}}{2}R$，水平位移x=$R+Rcos60°=\frac{3}{2}R$，位移与水平方向夹角的正切值$tanα=\frac{y}{x}=\frac{\frac{\sqrt{3}R}{2}}{\frac{3R}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，平抛运动某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，即$tanα=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，速度与水平方向夹角$α=arctan\frac{2\sqrt{3}}{3}$，故A错误．
B、小球的飞行时间t=$\frac{x}{{v}_{0}}=\frac{3R}{2{v}_{0}}$，根据$y=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，x=v₀t得，$4\sqrt{3}{{v}_{0}}^{2}=9gR$，则$t=\frac{3R}{2{v}_{0}}=\frac{2\sqrt{3}{v}_{0}}{3g}$，故B正确．
C、若小球在C点垂直击中圆弧，则速度的反向延长线经过圆心，根据几何关系知，速度与水平方向的夹角是位移与水平方向夹角的2倍，由于平抛运动某时刻速度方向与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，所以小球不可能在C点垂直击中圆弧，故C错误，D正确．
故选：BD．

点评 解决本题的关键知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，结合运动学公式和推论灵活求解，难度中等．