Question

20．如图所示，竖直平面内固定一半径为R的粗糙圆环，A处固定一轻质弹簧，弹簧末端栓接一质量为m的小球B，小球套在圆环上．已知弹簧的原长也为R，劲度系数为k，将小球从图示位置由静止释放，小球将沿圆环滑动并通过最低点C，到达C点时小球速度为v_c．下列说法正确的是（　　）

• A． 小球从B点滑到C点过程中，重力势能减少1.2mgR
• B． 小球从B点滑到C点过程中，克服弹力做功kR²
• C． 小球经过C点时对环的作用力大小为mg+m$\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$
• D． 小球从B到C的过程中，小球机械能减少1.5mgR-$\frac{1}{2}$mv_c²

Answer 1

分析 小球由C到B的过程，由几何知识求出小球下降的高度，即可得到重力势能的减小量．求出在C点弹簧的弹性势能，即可求解克服弹力做功；小球在最低点C时，重力、弹簧的弹力和环对球的作用力提供向心力，写出方程，可求出环对小球的作用大小，从而得到小球对环的作用力大小．

解答 解：A、小球从B点滑到C点过程中，下降的高度为 h=Rcos60°+R=1.5R，则重力势能减少△E_p=mgh=1.5mgR，故A错误．
B、在C点时弹簧伸长量 x=R，弹性势能为E_p=$\frac{1}{2}k{x}^{2}$=$\frac{1}{2}k{R}^{2}$
所以小球由B到C的过程，克服弹力做功为$\frac{1}{2}k{R}^{2}$．故B错误．
C、小球经过C点时，有 N+kR-mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，得N=mg+m$\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$-kR，则小球经过C点时对环的作用力大小为mg+m$\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$-kR，故C正确．
D、由机械能的概念知，小球从B到C的过程中，小球机械能减少1.5mgR-$\frac{1}{2}$mv_c²．故D正确．
故选：D．

点评 该题中正确计算出重力和弹性势能是解题的关键．要知道弹簧的弹性势能表达式E_p=$\frac{1}{2}k{x}^{2}$，x是弹簧的形变量大小．