Question

如图甲所示，在竖直平面内有一水平向右的匀强电场，场强E=1.0×10⁴N/C．电场内有一半径为R=2.0m的光滑绝缘细圆环形轨道竖直放置且固定，有一质量为m=0.4kg、带电荷量为q=+3.0×10^-4C的带孔小球穿过细圆环轨道静止在位置A，现对小球沿切线方向作用一瞬时速度v_A，使小球恰好能在光滑绝缘细圆环形轨道上做圆周运动，取圆环的最低点为重力势能和电势能的零势能点．已知g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）瞬时速度v_A的大小；
（2）小球机械能的最小值．

Answer 1

分析：（1）由于电荷恰好能在光滑绝缘细圆环形轨道上做圆周运动，故经过等效最高点B点时，重力和电场力的合力恰好提供向心力，根据牛顿第二定律列式求出等效最高点的速度，再对从A到B过程运用动能定理得出A点速度；
（2）除重力外，其他的力做负功越多，小球的机械能越小，因此小球的机械能最小的位置就是小球的电势能最大的位置．

解答：解：（1）如图所示，小球的平衡位置在A点，此时重力与电场力的合力F与重力的夹角为θ，则tanθ=

qE

mg

=

3

4

所以θ=37°，F=

5mg

4

小球受到最小的位置是在平衡位置直径的另一端B点且v_B=0，从A到B的过程中，合力F做功，由动能定理：-

5mg

4

?2R=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 A

代人数据得：v_A=10m/s
（2）由功能关系可知，除重力外，其他的力做负功越多，小球的机械能越小，因此小球的机械能最小的位置就是小球的电势能最大的位置，即图中的D点，
由功能关系：Emin=

1

2

m

v

2 A

+mgR(1-cosθ)-qER(1+sinθ)
代人数据得：E_min=12J
答：（1）瞬时速度v_A的大小是10m/s；
（2）小球机械能的最小值是12J．

点评：本题关键是将重力和电场力合成后当作一种全新的场力，然后左侧等效场的最高点，根据动能定理和牛顿第二定律灵活列式求解．