Question

如图10所示，光滑半圆弧轨道半径为R，OA为水平半径，BC为竖直直径。一质量为m的小物块自A处以某一竖直向下的初速度滑下，进入与C点相切的粗糙水平滑道CM上。在水平滑道上有一轻弹簧，其一端固定在竖直墙上，另一端恰位于滑道的末端C点(此时弹簧处于自然状态)。若物块运动过程中弹簧最大弹性势能为E_p，且物块被弹簧反弹后恰能通过B点。已知物块与水平滑道间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，求：

(1)物块离开弹簧刚进入半圆轨道时对轨道的压力F_N的大小；

(2)弹簧的最大压缩量d；

(3)物块从A处开始下滑时的初速度v₀。

图10

Answer 1

解析：(1)由题意可知，物块在B点满足：mg＝m，物块由C点到B点机械能守恒：mv_C²＝mg·2R＋mv_B²。

在C点：F_N′－mg＝m，

由以上三式联立可得F_N′＝6 mg，

由牛顿第三定律可知，物块对轨道最低点C的压力F_N＝F_N′＝6 mg。

(2)由能量守恒定律可得：E_p＝μmgd＋mv_C²，解得：d＝－。

(3)对物块由A点下滑到弹簧达最大压缩量的过程应用能量守恒定律可得：mv₀²＋mgR＝E_p＋μmgd

解得：v₀＝ 。

答案：(1)6 mg　(2)－　(3)