Question

有一质量为m=0.2kg的小球，从水平轨道上的A点出发，经过一段横截面是圆形、内部光滑的固定管道后离开管道（小球半径略小于管道内径），管道由呈抛物线状的BC段、呈圆形的CDE和呈1/4圆形的EF段组成，C点、E点为连接点，E点与圆心O在同一水平线上，CO与水平方向夹角为30°，BC段的高度为h₁=0.2m，CDE和EF段的半径均为R=0.3m，如图所示．小球与水平轨道间的动摩擦因数μ=0.2，AB段长度为l=0.5m，小球半径和管道的内径均远小于上述高度或半径，管壁厚度不计，所有管道与水平轨道在同一竖直面内，重力加速度g=10m/s²．
（1）若要使小球恰能从管道的F端离开，求小球从A点出发的最小速度；
（2）若小球以最小速度的2倍从A点出发，求小球经过C点的速度和经过最低点D点时小球对管道的压力；
（3）若要使小球落到离F端水平距离为0.5m的M点，求小球从A点出发的速度为多大？

Answer 1

分析：（1）小球恰能从管道的F端离开，只要小球在管口F端时的速度为零即可，贵A-F过程，根据动能定理可求解
（2）分别对A-C过程和A-D过程应用动能定理可求出C点和D点的速度，根据向心力公式可求得小球对轨道的压力
（3）由平抛运动规律可求得小球在F点 速度，对A-F过程，根据动能定理可求解

解答：解：（1）由于要求小球恰能从管道的F端离开，只要小球在管口F端时的速度为零即可，设小球从A点出发的最小速度为v₁．
对小球在A-F过程中，由动能定理得：-μmgxAB-mg(R+Rsin30°-h1)=0-

1

2

m

v

2 1

解得：v1=

7

m/s
（2）当小球以最小速度的2倍（2

7

m/s）从A点出发时，设小球经过C点和D点的速度分别为v₂、v₃．
对小球在A-C过程中，由动能定理得：-μmgxAB+mgh1=

1

2

m

v

2 2

-

1

2

m(2v1)2
解得：v2=

30

2

m/s
对小球在A-D过程中，由动能定理得：-μmgxAB+mg(h1+R-Rsin30°)=

1

2

m

v

2 3

-

1

2

m(2v1)2
又：小球在D点受到重力（mg）和轨道的弹力（F_N）作用，这两个力提供小球做圆周运动向心力．
由向心力公式得：FN-mg=m

v 2 3

R

由上述两式解得：F_N=13N
所以小球对轨道的压力大小为13N，方向竖直向下
（3）要使小球落到M点，设小球从A点出发的速度为v₄，当其到在F点时的速度为v₅．
由平抛运动可知：x=v₅t
2R=

1

2

gt2
又小球在A-F过程中，由动能定理得：-μmgxAB-mg(R+Rsin30°-h1)=

1

2

m

v

2 5

-

1

2

m

v

2 4

由上述三式得：v4=

327

6

m/s
答：（1）若要使小球恰能从管道的F端离开，小球从A点出发的最小速度为

7

m/s；
（2）若小球以最小速度的2倍从A点出发，小球经过C点的速度为

30

2

m/s
经过最低点D点时小球对管道的压力为13N；
（3）若要使小球落到离F端水平距离为0.5m的M点，小球从A点出发的速度为

327

6

m/s

点评：本题主要考查动能定理的应用，根据题目分段列式求解，能力要求较高，题目有一定的难度．