Question

13．现有一根长L=1m的不可伸长的轻质细绳，其一端固定于O点，另一端系着质量m=1kg的小球（可视为质点），将小球提至O点正上方的A点处，此时绳刚好伸直且无张力，如图所示．不计空气阻力，取g=10m/s²，求：
（1）为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A点至少应施加给小球多大的水平速度v₀？
（2）若在A点给小球的水平速度v₁=4m/s，则在A点瞬间，绳中的拉力为多大？
（3）若在A点给小球的水平速度v₂=1m/s，小球将不沿圆弧运动，求轻绳恰好再次伸直时，小球所在的位置到直线AO（或其延长线）的最短距离．

Answer 1

分析 （1）小球在竖直面内能够做完整的圆周运动，在最高点时至少应该是重力作为所需要的向心力，由重力作为向心力可以求得最小的速度v₀；
（2）根据第一问的判断可以知道v₁＞V₀，故绳中有张力，由向心力的公式可以求得绳的拉力的大小；
（3）由于v₂＜v₀，故绳中没有张力，小球将做平抛运动，根据平抛运动的规律可以求得小球所在的位置到直线AO（或其延长线）的最短距离．

解答 解：（1）要使小球在竖直面内能够做完整的圆周运动，在最高点时至少应该是重力作为所需要的向心力，
所以 由 mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{L}$得：v₀=$\sqrt{gL}$=$\sqrt{10}$m/s
（2）因为v₁＞v₀，故绳中有张力，由牛顿第二定律得：
T+mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{L}$
代入数据解得绳中的拉力为：T=6N
（3）因为v₂＜v₀，故绳中没有张力，小球将做平抛运动，如图所示
水平方向：x=v₂t
竖直方向：y=$\frac{1}{2}$gt²
由几何关系有：L²=（y-L）²+x²
解得：x=0.6m
答：（1）为保证小球能在竖直面内做完整的圆周运动，在A点至少应施加给小球$\sqrt{10}$m/s的水平速度v₀．
（2）若在A点给小球的水平速度v₁=4m/s，则在A点瞬间，绳中的拉力为6N．
（3）若在A点给小球的水平速度v₂=1m/s，轻绳恰好再次伸直时，小球所在的位置到直线AO（或其延长线）的最短距离是0.6m．

点评 要使小球在竖直面内能够做完整的圆周运动，在最高点时至少应该是重力作为所需要的向心力，这是本题中的一个临界条件，与此时的物体的速度相对比，可以判断物体能否做圆周运动，进而再根据不同的运动的规律来分析解决问题．