Question

7．如图所示，圆弧形光滑轨道ABC固定在竖直平面内，O是圆心，OC竖直，OA水平．A点紧靠一足够长的平台MN，D点位于A点正上方．如果从D点无初速度释放一个小球，从A点进入圆弧轨道，有可能从C点飞出，做平抛运动，落到平台MN上，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）

• A． 只要D点距A点的高度合适，小球可以落在MN上任意一点
• B． 在由D点运动到A点和由C点运动到P点的过程中重力功率都越来越小
• C． 由D点经A．B．C三点到P点的过程中机械能守恒
• D． 如果D．A间的距离为h，则小球经过圆弧轨道最低点B时对轨道的压力为2mg+$\frac{2mgh}{R}$

Answer 1

分析 根据小球恰好通过C点时的最小速度，求小球离开C点后平抛运动的最小距离．采用特殊位置法分析小球从A运动到B的过程中，重力的功率如何变化．在小球运动的过程中，只有重力做功，遵守机械能守恒定律．根据机械能守恒定律求出小球到达B点时的速度，再由牛顿运动定律求小球对轨道的压力．

解答 解：A、球恰好通过C点时，有mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$，得小球通过C点的最小速度为：v_C=$\sqrt{gR}$．小球离开C点后做平抛运动，由R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$，得：t=$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，小球离开C点做平抛运动的水平距离最小值为：x=v_Ct=$\sqrt{2}$R，所以小球只有落在平台MN上距M点距离为（$\sqrt{2}$-1）R的右侧位置上，故A错误；
B、在由D运动到M的过程中，速度增大，由P=mgv知，重力功率增大，由C运动到P的过程中，由P=mgv_y，知v_y增大，则重力功率增大，故B错误；
C、小球由D经A、B、C到P的过程中，轨道对小球不做功，只有重力做功，机械能守恒，故C正确；
D、小球从D运动到B的过程中，由机械能守恒得：mg（h+R）=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$，在B点，由牛顿第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$，解得：N=3mg+$\frac{2mgh}{R}$，由牛顿第三定律得知，小球经过B点时对轨道的压力为：N′=N=3mg+$\frac{2mgh}{R}$，故D错误．
故选：C

点评 本题要把握C点的临界速度的求法，知道小球通过C点后水平位移有最小值，运用机械能守恒定律和牛顿运动定律结合是求圆周运动中物体受力情况常用的思路．