Question

【题目】如图甲所示，一长为l=1m的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动．给系统输入能量，使小球通过最高点的速度不断加快，通过传感器测得小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与小球在最高点动能Ek的关系如图乙所示，重力加速度为g，不考虑摩擦和空气阻力，请分析并回答以下问题：

（1）若要小球能做完整的圆周运动，对小球过最高点的速度有何要求？（用题中给出的字母表示）．
（2）请根据题目及图象中的条件求出小球质量m的值．（g取10m/s2）
（3）求小球从图中a点所示状态到图中b点所示状态的过程中，外界对此系统做的功．
（4）当小球达到图乙中b点所示状态时，立刻停止能量输入．之后的运动过程中，在绳中拉力达到最大值的位置，轻绳绷断，求绷断瞬间绳中拉力的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解：小球刚好通过最高点做完整圆运动要求在最高点受力满足：mg=m ，

因此小球过最高点的速度要满足：v≥ ．

答：若要小球能做完整的圆周运动，对小球过最高点的速度满足：v≥ ；

（2）解：小球在最高点时有：mg+F=m 又因为：EK= mv2，

所以绳对小球的拉力F与小球在最高点动能Ek的关系式为：F= ﹣mg，

由图象知，当EK=1.0J时，F=0，代入上式得到：mgl=2.0J；又已知l=1m，则小球的质量m=0.2kg．

答：小球质量为0.2kg；摆线长度为1m；

（3）解：由F= ﹣mg知：图线的斜率值为： =2N/J，因此对应状态b，Fb=4.0N，可求出小球在最高点的动能： = ，于是得到：EKb=3.0J

对小球从状态a到状态b的过程，有：W=EKb﹣EK=3.0﹣1.0=2.0J，

即：外界对系统做的功为2.0J．

答：外界对此系统做的功为2.0J；

（4）解：在停止能量输入之后，小球在重力和轻绳拉力作用下在竖直面内做圆周运动，运动过程中机械能守恒．当小球运动到最低点时，绳中拉力达到最大值．

设小球在最低点的速度为v，对从b状态开始至达到最低点的过程应用机械能守恒定律，有：mg2l= mv2﹣EKb；

设在最低点绳中拉力为Fm，由牛顿第二定律有：Fm﹣mg=m ，

两式联立解得：Fm=16N，

即：绷断瞬间绳中拉力的大小为16N．

答：绷断瞬间绳中拉力的大小为16N．

【解析】（1）在最高点，由牛顿第二定律可求小球能做完整的圆周运动满足的条件；（2）在最高点，由牛顿第二定律并结合图象信息可求小球质量和摆线长度；（3）由图象得斜率，根据动能定理求外界对系统做的功；（4）应用机械能守恒定律和牛顿第二定律求绷断瞬间绳中拉力的大小．