Question

(15分)如图所示，一轻绳吊着粗细均匀的棒，棒下端离地面高H，上端套着一个细环，棒和环的质量均为m，相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg(k＞1)，断开轻绳，棒和环自由下落，假设棒足够长，与地面发生碰撞时，触地时间极短，无动能损失，棒在整个运动过程中始终保持竖直，空气阻力不计，求：

⑴棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中，环的加速度；
⑵棒与地面第二次碰撞前的瞬时速度；
⑶从断开轻绳到棒和环都静止，摩擦力对棒和环做的功分别是多少？

Answer 1

⑴a₁＝(k－1)g，方向竖直向上；⑵v₂＝；⑶W₁＝－mgH，W₂＝

试题分析：⑴设棒第一次反弹上升过程中，环的加速度为a₁，由于k＞1，所以kmg＞mg，由牛顿第二定律得：kmg－mg＝ma₁，解得：a₁＝(k－1)g，方向竖直向上。
⑵在下落的过程中，棒、环系统机械能守恒，且下落过程中，棒、环之间无相对滑动，设棒第一次落地的速度大小为v₁，由机械能守恒得：×－0＝2mgH－0，解得：v₁＝
当棒触地反弹时，环将继续下落，棒、环之间存在相对滑动，设此时棒的加速度为a₂，由牛顿第二定律得：mg＋kmg＝ma₂，解得：a₂＝(k＋1)g，方向竖直向下，即棒减速上升
环与棒将在空中达到相同速度v，有：v＝v₁－a₁t＝－v₁＋a₂t
解得：v＝
设此时棒上升的高度为h₁，有：v²－v₁²＝－2a₂h₁
此后，棒和环一起下落，设与地面碰撞前瞬间速度为v₂，有：v₂²－v²＝2gh₁
解得：v₂＝＝
⑶设摩擦力对棒和环做的功分别为W₁和W₂，整个过程中环与棒的相对位移为l
对棒有：mgH＋W₁＝0
对环有：mg(H＋l)＋W₂＝0
对系统有：kmgl＝mg(H＋l)＋mgH
解得：W₁＝－mgH，W₂＝