Question

14．如图所示，以A、B和C、D为端点的半径为R=0.6m的两半圆形光滑绝缘轨道固定于竖直平面内，B端、C端与光滑绝缘水平面平滑连接．A端、D端之间放一绝缘水平传送带，传送带下方B、C之间的区域存在水平向右的匀强电场，场强E=5×10⁵V/m．当传送带以v₀=6m/s 的速度沿图示方向匀速运动时，将质量为m=4×10^-3kg，带电量q=+1×10^-8C的小物块由静止放上传送带的最右端，小物块第一次运动到传送带最左端时恰好能从A点沿半圆轨道滑下，不计小物块大小及传送带与半圆轨道间的距离，g取10m/s²，已知A、D端之间的距离为1.2m 等于水平传送带的长．
（1）求小物块第一次运动到传送带最左端时的速度的大小；
（2）求小物块与传送带间的动摩擦因数；
（3）求小物块第1次经CD半圆形轨道到达D点时的速度大小；
（4）小物块第几次经CD半圆形轨道到达D点时的速度达到最大？最大速度为多少？

Answer 1

分析 （1）对小物块第一次运动到传送带最左端时的速度的大小这个问题，学生一般会想把它作为DA段的末速u度来求，但是再进一步就走不动了，因为题目没给DA段的摩擦力，也没给摩擦因数，或者其他一些提示，比如说摩擦力为重力的几分之几．因为不知道摩擦力，所以动能定理当然也不能用．
因此个问题就要再回到题目中仔细看题干，题干当中有这样一句：“小物块第一次运动到传送带最左端时恰好能从A点沿半圆轨道滑下”，题眼就在这里了．句中的“恰好能从A点沿半圆轨道滑下”就是题眼，打开这个题就从里开始．（题眼找不到，题目就打不开，余下的问题一个都做不了，所以找出“题眼”很关键．）这句话涉及到我们在学的绳杆模型问题，我们区分绳杆模型的依据是这个装置在最高点是否能为物体提供向上的支持力，所以这个轨道实际就是一个绳的模型．
而“恰好能从A点沿半圆轨道滑下”，说明的是圆轨道AB的最高点A位置恰好是重力充当向心力，由此可以解出小物块第一次运动到传送带最左端时的速度的大小．
（2）因为在第一问已经求的A点的速度，要求摩擦因数可以用DA段的运动了．第一问的计算结果是：${v}_{A}=\sqrt{6}m/s$，它小于传送带的速度6m/s，所以可以知道摩擦力在全程做功，因此列出动能定理方程，可以解得摩擦因数．
（3）这一问要有全局观念，我们可以选择从D到A经BC再回到D这个过程，来应用一次动能定理．这个过程中做功的力只有两个，一个是传送带的摩擦力，一个就是电场力．两个都好表示，列出动能定理就可解得结果．
（4）先说明一下，这一问非常难，一般不会考到这个难度的题，即使现在作为高考的压轴题也少见这个难度的．以前物理单独考的时候有这个难度的，现在极少见了，不会的也不用气馁．
来说一下分析思路，物体会在n次加速之后回到D点时，速度等于传送带的速度，这之后，传送带不再给物体加速，只有电场还会给物体加速，经电场加速之后物体第n+1次回到D点时，其速度就比传送带的速度要大．则传送带对物体的摩擦力就会变成阻力使其速度减小，直到和传送带的速度一样．但是不可能出现减速后到A点速度仍比传送带的速度大的情况，因为这样的话它再次经过电场加速到D点后速度一定比第n+1次回到D点时的速度大，这样就无限循环速度就没有最大值了

解答 解：（1）由题意，在小物块第一次运动到传送带最左端时恰好能从A点沿半圆轨道滑下，知圆轨道AB的最高点A位置恰好是重力充当向心力：
$mg=\frac{{v}_{A1}^{2}}{R}$
解得：${v}_{A1}=\sqrt{gR}=\sqrt{6}m/s$
（2）因${v}_{A1}=\sqrt{gR}=\sqrt{6}m/s＜6m/s$，所以物块在传送带上从D到A摩擦力一直做功，由动能定理得：
$μmgL=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
解得：μ=0.25
（3）对整体即从D到A经BC再回到D这个过程应用动能定理：
此过程中做功的有摩擦力和电场力
摩擦力做功为：W_f=μmgL
电场力做功为：W_E=qEL
由动能定理得：${W}_{f}+{W}_{E}=\frac{1}{2}{mv}_{D1}^{2}$
由以上三式解得：v_D1=3m/s
（4）设第n次到达D点时的速度等于传送带的速度，由动能定理得：
$nμmgL+nqEL=\frac{1}{2}{mv}_{Dn}^{2}$
解得：n=4
由于n=4是整数，说明物块第4次到达D点时的速度刚好等于传送带的速度．而后物块随传送带一起匀速运动到A点，再次回到D点的速度为v_D，由动能定理得：
$qELcos=\frac{1}{2}{mv}_{D}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得：${v}_{D}=\sqrt{39}m/s＞{v}_{0}$
这是第5次到达D点的速度，因为它大于传送带的速度所以传送带的摩擦力就变成了阻力，物块在传送带上做匀减速直线运动．设在传送带上前进距离S后，速度减到与传送带速度相等．由动能定理得：
$-μmgS=\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{D}^{2}$
解得：S=0.6m
说明物块第5次到达D点后，在传送带上减速至中点时速度即和传送带速度相等，之后随传送带匀速运动到A点，以后的运动就重发上述过程，所以物块第5次到达D点的速度最大，其最大速度为${v}_{D}=\sqrt{39}m/s$
答：（1）小物块第一次运动到传送带最左端时的速度的大小为：$\sqrt{6}$m/s
（2）小物块与传送带间的动摩擦因数为：0.25
（3）小物块第1次经CD半圆形轨道到达D点时的速度大小：3m/s
（4）物块第5次到达D点的速度最大；最大速度为：$\sqrt{39}m/s$

点评 本题由两个难点，一是在找到“题眼”解决第一问，以此来打开整个题目．这个还有点技巧可以用，就是要注意题目中一些临界性质的表述，比如常见到的“恰好”“刚好”“刚刚”等，指的就是一些临界情况，解题应予以关注．
二是在第4问是个大难点，并且这个也没什么技巧可用，全凭经验和综合分析能力了