Question

3．如图所示，内壁光滑的弯曲钢管固定在天花板上，一根结实的细绳穿过钢管，两端分别拴着一个小球A和B．小球A和B的质量之比$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$=$\frac{1}{2}$．当小球A在水平面内做匀速圆周运动时，小球A到管口的绳长为l，此时小球B恰好处于平衡状态．管子的内径粗细不计，重力加速度为g．试求：
（1）拴着小球A的细绳与竖直方向的夹角θ；
（2）小球A转动的周期．

Answer 1

分析 （1）对小球B分析，得出拉力等于B的重力，对A球分析，A受到重力和拉力，靠两个力的合力提供向心力，根据竖直方向上的合力为零求出细绳与竖直方向的夹角．
（2）根据水平方向的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球A转动的周期．

解答 解：（1）绳子的拉力T=m_Bg，
对A球分析，在竖直方向上的合力为零，则Tcosθ=m_Ag，
解得cosθ=$\frac{1}{2}$，则θ=60°．
（2）根据牛顿第二定律得${m}_{A}gtan60°={m}_{A}lsin60°\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
解得T=$\sqrt{\frac{2{π}^{2}l}{g}}$．
答：（1）拴着小球A的细绳与竖直方向的夹角θ为60°；
（2）小球A转动的周期为$\sqrt{\frac{2{π}^{2}l}{g}}$．

点评 解决本题的关键知道绳子的拉力等于B的重力，A靠重力和拉力的合力提供向心力，在竖直方向上合力为零．