Question

15．如图所示，ABCDO是处于竖直平面内的光滑轨道，AB是半径为R=15m的圆周轨道，CDO是直径为15m的半圆轨道．AB轨道和CDO轨道通过极短的水平轨道（长度忽略不计）平滑连接．半径OA处于水平位置，直径OC处于竖直位置．一个小球P从A点的正上方高H处自由落下，从A点进入竖直平面内的轨道运动（小球经过A点时无机械能损失）．当小球通过CDO轨道最低点C时的速度大小为10$\sqrt{5}$m/s，取g为10m/s²．
（1）试求高度H的大小；
（2）试求小球通过CDO轨道最低点C时对轨道的压力等于其重力的多少倍；
（3）试讨论此球能否到达CDO轨道的最高点O，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律求出高度H的大小．
（2）根据牛顿第二定律求出最低点C小球所受的支持力大小，从而通过牛顿第三定律求出压力的大小．
（3）根据机械能守恒定律求出O点的速度，结合O点的临界速度大小判断能否到达最高点O．

解答 解：（1）P到C过程，由机械能守恒：$mg（H+\frac{R}{2}）=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$
代入数据，解得：H=10m．
（2）根据牛顿第二定律得，N-mg=$m\frac{{{v}_{1}}^{2}}{\frac{R}{2}}$，解得N=$\frac{23}{3}mg$，
在C点对轨道的压力等于重力的$\frac{23}{3}$倍，由牛顿第三定律得，在C点轨道
对小球的支持力大小为$\frac{23}{3}$mg．

（3）设小球能到达O点，由P到O，机械能守恒，到O点的速度v₂：
$mgH=\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}$，
解得     ${v}_{2}=\sqrt{2gH}=\sqrt{20g}$．
设小球能到达轨道的O点时的速度大小为v₀，则
mg=$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{\frac{R}{2}}$，解得  v₀=$\sqrt{\frac{gR}{2}}=\sqrt{\frac{15g}{2}}$，
v₂＞v₀   所以小球能够到达O点．
答：（1）高度H的大小为10m．
（2）小球通过CDO轨道最低点C时对轨道的压力等于其重力的$\frac{23}{3}$倍．
（3）小球能够到达O点．

点评 本题考查了机械能守恒定律、牛顿第二定律的综合运用，知道圆周运动向心力的来源，以及最高点的临界情况，难度中等．