Question

经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识，双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离．一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统来处理．现根据对某一双星系统的光学测量确定：该双星系统中每个星体的质量都是m两者相距L，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动．
（1）试计算该双星系统的运动周期T_计算；
（2）若实验上观测到的运动周期为T_观测，且T_观测：T_计算=1：

N

（N＞1）．为了解释T_观测与T_计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质．作为一种简化模型，我们假定在以这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质．若不考虑其他暗物质的影响，请根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度．

Answer 1

分析：（1）根据对称性可知，两颗星都绕系统中心做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力列式求解；
（2）暗物质引力和星星引力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解出暗物质的质量，再求解密度．

解答：解：
（1）双星均绕它们连线的中点做圆周运动，设运动的速率为v，得
m

v2

L 2

=

Gm2

L2

①
解得：
v=

Gm 2L

②
则周期为：T计算=

2π L 2

v

=πL

2L Gm

③
（2）根据观测结果，星体的运动周期：
T观测=

1

N

T计算＜T计算④
这种差异是由双星内均匀分布的暗物质引起的，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量m′，位于中点O处的质点的作用相同．考虑暗物质作用后双星的速度即为观察到的速度v_观测，则有
 m

v观测2

L 2

=

Gm2

L2

+G

mm′

( L 2 )2

⑤
解得：
v观测=

G(m+4m′) 2L

⑥
因为在周长一定时，周期和速度成反比，由④式得 

1

v观测

=

1

N

?⑦
把②⑥式代入⑦式得：
 m′=

N-1

4

m
设所求暗物质的密度为ρ，则：

4

3

π(

L

3

)3ρ=

N-1

4

m
解得：
ρ=

3(N-1)m

2πL3

．
答：
（1）该双星系统的运动周期T_计算=πL

2L Gm

（2）该星系间这种暗物质的密度ρ=

3(N-1)m

2πL3

．

点评：本题关键找出向心力来源，然后根据牛顿第二定律列方程求解，要细心，不难．