Question

如图所示，固定的凹槽水平表面光滑，其内放置U形滑板N，滑板两端为半径R=0.45 m的1/4圆弧面，A和D.分别是圆弧的端点，BC段表面粗糙，其余段表面光滑，小滑块P₁和P₂的质量均为m,滑板的质量M=4m.P₁和P₂与BC面的动摩擦因数分别为μ₁=0.10和μ₂=0.40,最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，开始时滑板紧靠槽的左端，P₂静止在粗糙面的B点，P₁以v₀=4.0 m/s的初速度从A点沿弧面自由滑下，与P₂发生弹性碰撞后，P₁处在粗糙面B点上.当P₂滑到C点时，滑板恰好与槽的右端碰撞并与槽牢固粘连，P₂继续滑动，到达D.点时速度为零，P₁与P₂视为质点.取g=10 m/s².问：

（1）P₂在BC段向右滑动时，滑板的加速度为多大？

（2）BC长度为多少？N、P₁和P₂最终静止后，P₁与P₂间的距离为多少?

Answer 1

（1）0.8 m/s²  (2)1.9 m    0.695 m

解析：(1)P₁滑到最低点速度为v₁,由机械能守恒定律有

mv₀²+mgR=mv₁²

解得v₁=5 m/s

P₁、P₂碰撞满足动量守恒、机械能守恒定律，设碰后速度分别为v₁′、v₂，则

mv₁=mv₁′+mv₂′

mv₁²=mv₁′²+mv₂²

又由v₁′=0

解得v₂=5 m/s

P₂向右滑动时，P₂对滑板摩擦力为

f=μ₂mg=4m(向右)

对P₁、M有f=(m+M)a₂

则a₂===0.8 m/s²

此时对P₁有f₁=ma₂=0.80m＜f_m=1.0m,即此时P₁与滑板具有共同的加速度0.8 m/s²，方向向右.

(2)

P₂滑到C点速度为v₂′，由mgR=mv₂′²

解得v₂′=3 m/s

P₁、P₂碰撞到P₂滑至C点时，设P₁、M速度为v,由动量守恒定律得

mv₂=(m+M)v+mv₂′

解得v=0.40 m/s

以P₁、P₂、M为系统

fL=mv₂²-mv₂′²-(m+M)v²

代入数值得BC长度L=1.9 m

滑板碰后，P₁向右滑行，加速度为a₁=μ₁g=1 m/s²

滑行距离S₁==0.08 m

P₂向左滑行，加速度为a₂′=μ₂g=4 m/s²

滑行距离S₂==1.125 m

所以P₁、P₂静止后距离ΔS=L-S₁-S₂=0.695 m.