Question

6．如图所示，直径分别为D和2D的同心圆处于同一竖直面内，O为圆心，GH为大圆的水平直径．两圆之间的环形区域（Ⅰ区）和小圆内部（Ⅱ区）均存在垂直圆面向里的匀强磁场．间距为d的两平行金属极板间有一匀强电场，上级板开有一小孔．一质量为m，电量为+q的粒子由小孔下方$\frac{d}{2}$处静止释放，加速后粒子以竖直向上的速度v射出电场，由H点紧靠大圆内侧射入磁场．不计粒子的重力．
（1）求极板间电场强度的大小；
（2）若粒子运动轨迹与小圆相切，求Ⅰ区磁感应强度的大小；
（3）若Ⅰ区、Ⅱ区磁感应强度的大小分别为$\frac{2mv}{qD}$、$\frac{4mv}{qD}$，粒子运动一段时间后再次经过H点，求这段时间粒子运动的路程．

Answer 1

分析 （1）带电粒子在电场中做加速运动；根据动能定理可求得电场强度的大小；
（2）明确两种可能的相切情况，即可求得半径；根据洛仑兹充当向心力求解磁感应强度；
（3）分析粒子在磁场中的运动，根据运动周期明确经过的圆心角，再由圆的性质明确对应的路程．

解答 解：（1）设极板间电场强度大小为E，对粒子在电场中的加速运动，由动能定理可得：
qE$\frac{d}{2}$=$\frac{1}{2}$mv²
解得：E=$\frac{m{v}^{2}}{qd}$
（2）设I区内磁感应强大小为B，粒子做圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
如图甲所示，粒子的运动轨迹与小圆相切有两种情况，若粒子轨迹与小圆外切，由几何关系可得：
R=$\frac{D}{4}$；
解得：B=$\frac{4mv}{qD}$；
若粒子轨迹与小圆内切，由几何关系得：
R=$\frac{3}{4}D$；
解得：B=$\frac{4mv}{3qD}$
（3）设粒子在I区和II区做圆周运动的半径分别为R₁、R₂，由题意可知，I区和II内的磁感应强度大小分别为B₁=$\frac{2mv}{qD}$；B₂=$\frac{4mv}{qD}$；由牛顿第二定律可得：
qvB₁=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{1}}$，qvB₂=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$
代入解得：R₁=$\frac{D}{2}$，R₂=$\frac{D}{4}$；
设粒子在I区和II区做圆周运动的周期分别为T₁、T₂，由运动学公式得：
T₁=$\frac{2π{R}_{1}}{v}$，T₂=$\frac{2π{R}_{2}}{v}$
由题意分析，粒子两次与大圆相切的时间间隔的运动轨迹如图乙所示，由对称性可知，I区两段圆弧所对圆心角相同，设为θ₁，II区内所对圆心角设为θ₂，圆弧和大圆的两个切点与圆心O连线间的夹角为α，由几何关系可得：
θ₁=120°
在区域II中恰好经过了半个圆周，故θ₂=180°
α=60°
粒子重复上述交替运动到H点，设粒子I区和II区做圆周运动的时间分别为t₁、t₂，可得：
t₁=$\frac{360°}{α}$×$\frac{2{θ}_{1}}{360°}$T₁，t₂=$\frac{360}{α}$×$\frac{{θ}_{2}}{360°}$T₂
设粒子运动的路程为s，由运动学公式可得s=v（t₁+t₂）
联立解得：s=5.5πD
答：（1）极板间电场强度的大小$\frac{m{v}^{2}}{qd}$；
（2）若粒子运动轨迹与小圆相切，Ⅰ区磁感应强度的大小$\frac{4mv}{qD}$或$\frac{4mv}{3qD}$；
（3）若Ⅰ区、Ⅱ区磁感应强度的大小分别为$\frac{2mv}{qD}$、$\frac{4mv}{qD}$，粒子运动一段时间后再次经过H点，这段时间粒子运动的路程5.5πD．

点评 本题考查带电粒子在磁场和电场中的运动，要注意明确洛仑兹力充当向心力的应用，同时要注意分析可能的运动过程，特别是具有对称性的性质要注意把握．