Question

20．在海滨游乐场有一种滑沙的娱乐活动．如图所示，人坐在滑板上从斜坡的高处A点由静止开始下滑，滑到斜坡底部B点后沿水平滑道再滑行一段距离到C点停下来，斜坡滑道与水平滑道间是平滑连接的，滑板与两滑道间的动摩擦因数为μ=0.5，不计空气阻力，重力加速度g=10m/s²．
（1）若斜坡倾角θ=37°，人和滑板的总质量为m=60kg，求人在斜坡上下滑时的加速度大小．（sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）
（2）若斜坡高H=30m，倾角θ=37°，人和滑板的总质量为m=60kg，斜坡，则人和滑板在BC面上的滑行的位移有多大？
（3）若由于受到场地的限制，A点到C点的水平距离为s=50m，为确保人身安全，斜坡滑的高度不应超过多少？

Answer 1

分析 （1）对人与滑板进行受力分析，求得合外力，再应用牛顿第二定律求得加速度；
（2）根据（1）求得刚滑到水平面上时的速度，然后对人与滑板在水平面上的受力进行分析，求得合外力，进而得到加速度，再由匀减速运动规律求得位移；
（3）分析在斜面和水平面上的受力情况，求得加速度，然后求解滑到水平面上时的速度，进而得到水平位移，然后由两部分的水平位移不大于s求解斜坡高度．

解答 解：（1）在斜坡上下滑时，人和滑板受重力、支持力和摩擦力作用，由垂直斜面方向受力平衡可得：支持力F_N=mgcos37°=60×10×0.8N=480N；
所以，人和滑板在沿斜面方向上收到的合外力F=mgsinθ-f=mgsinθ-μF_N=60×10×0.6-0.5×480（N）=120N；
由牛顿第二定律可得：人在斜坡上下滑时的加速度大小$a=\frac{F}{m}=2m/{s}^{2}$；
（2）由（1）可知：在斜面上a=2m/s²；那么人与滑板滑到水平面时的速度$v=\sqrt{2as}=\sqrt{\frac{2aH}{sin37°}}=\sqrt{\frac{2×2×30}{0.6}}m/s=10\sqrt{2}m/s$；
人与滑板在BC面上滑行时受到的合外力为摩擦力，即F′=f=μmg，那么加速度$a′=\frac{F′}{m}=μg=5m/{s}^{2}$，所以，人和滑板在BC面上的滑行的位移$s=\frac{{v}^{2}}{2a}=20m$；
（3）设斜坡倾角为α，斜坡的最大高度为h，那么加速度${a}_{1}=\frac{{F}_{1}}{m}=\frac{mgsinα-μmgcosα}{m}=（sinα-0.5cosα）g$；滑至底端时的速度${v}_{1}=\sqrt{2{a}_{1}•\frac{h}{sinα}}$；
沿BC段前进时的加速度不变，仍为a′=5m/s²；那么沿BC段滑行的距离$L=\frac{{{v}_{1}}^{2}}{2a′}=2h\frac{sinα-0.5cosα}{sinα}$=$2h-\frac{h}{tanα}$；
为确保安全要求，则$s≥L+\frac{h}{tanα}=（2h-\frac{h}{tanα}）+\frac{h}{tanα}=2h$；
所以，$h≤\frac{1}{2}s=25m$，故斜坡的高度不应超过25m．
答：（1）若斜坡倾角θ=37°，人和滑板的总质量为m=60kg，则人在斜坡上下滑时的加速度大小为2m/s²；
（2）若斜坡高H=30m，倾角θ=37°，人和滑板的总质量为m=60kg，斜坡，则人和滑板在BC面上的滑行的位移为20m；
（3）若由于受到场地的限制，A点到C点的水平距离为s=50m，为确保人身安全，斜坡滑的高度不应超过25m．

点评 在求解运动学问题时，一般先对物体进行受力分析，求得合外力，然后根据牛顿第二定律求得加速度，再由运动学规律求解位移、速度等问题．