Question

探究某种笔的弹跳问题时，把笔分为轻质弹簧、内芯和外壳三部分，其中内芯和外壳质量分别为m和4m．笔的弹跳过程分为三个阶段：


①把笔竖直倒立于水平硬桌面，下压外壳使其下端接触桌面（图a）；
②由静止释放，外壳竖直上升至下端距桌面高度为h₁时，与静止的内芯碰撞（图b）；
③碰后，内芯与外壳以共同的速度一起上升到外壳下端距桌面最大高度为h₂处（图c）．
设内芯与外壳的撞击力远大于笔所受重力、不计摩擦与空气阻力，重力加速度为g．求：
（1）外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小；
（2）从外壳离开桌面到碰撞前瞬间，弹簧做的功；
（3）从外壳下端离开桌面到上升至h₂处，笔损失的机械能．

Answer 1

设外壳上升高度h₁时速度为V₁，外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小为V₂，
（1）对外壳和内芯，从撞后达到共同速度到上升至h₂处，应用动能定理有：
（4m+m）g（ h₂-h₁）=

1

2

（4m+m）V₂²，
解得V₂=

2g(h2-h1)

；
（2）外壳和内芯，碰撞过程瞬间动量守恒，应用动量守恒定律有：
4mV₁=（4m+m）V₂，
解得V₁=

5

4

2g(h2-h1)

，
设从外壳离开桌面到碰撞前瞬间弹簧做功为W，在此过程中，对外壳应用动能定理有
W-4mgh₁=

1

2

（4m）V₁²，
解得：W=

25h2-9h1

4

mg；
（3）由于外壳和内芯达到共同速度后上升高度h₂的过程，机械能守恒，只是在外壳和内芯碰撞过程有能量损失，损失的能量为E_损=

1

2

（4m）V₁²-

1

2

（4m+m）V₂²，
联立解得E_损=

5

4

mg（h₂-h₁）．
答：（1）外壳与内芯碰撞后瞬间的共同速度大小是

2g(h2-h1)

；
（2）从外壳离开桌面到碰撞前瞬间，弹簧做的功是

25h2-9h1

4

mg；
（3）从外壳下端离开桌面到上升至h₂处，笔损失的机械能

5

4

mg（h₂-h₁）．