Question

11．如图所示，半径为R的竖直固定光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球一个冲击使其在瞬间得到一个水平初速度v₀，若v₀大小不同，则小球能够上升到的最大高度（距离底部）也不同．下列说法中正确的是（　　）

• A． 如果v₀=$\sqrt{gR}$，则小球能够上升的最大高度为$\frac{R}{2}$
• B． 如果v₀=$\sqrt{2gR}$，则小球能够上升的最大高度为$\frac{R}{2}$
• C． 如果v₀=$\sqrt{3gR}$，则小球能够上升的最大高度为2R
• D． 如果v₀=$\sqrt{5gR}$，则小球能够上升的最大高度为2R

Answer 1

分析 先根据机械能守恒定律求出在此初速度下能上升的最大高度，再根据向心力公式判断在此位置速度能否等于零即可求解

解答 解：A、当v₀=$\sqrt{gR}$时，根据机械能守恒定律有：$\frac{1}{2}{{mv}_{0}}^{2}=mgh$，解得h=$\frac{R}{2}$，小球上升到高度为$\frac{R}{2}$时速度可以为零，所以小球能够上升的最大高度为$\frac{R}{2}$．故A正确，B错误．
C、设小球恰好运动到圆轨道最高点时在最低点的速度为v₁，在最高点的速度为v₂．
则在最高点，有mg=$m\frac{{{v}_{2}}^{2}}{R}$
从最低点到最高点的过程中，根据机械能守恒定律得：2mgR+$\frac{1}{2}m{{v}_{2}}^{2}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}$，
解得${v}_{1}=\sqrt{5gR}$．
所以${v}_{0}＜\sqrt{5gR}$，不能上升到圆轨道的最高点，会脱离轨道，在最高点的速度不为零．
根据$\frac{1}{2}{{mv}_{0}}^{2}=mgh+\frac{1}{2}mv{′}^{2}$，知h$＜\frac{3}{2}R$．故C错误．
D、当${v}_{0}≥\sqrt{5gR}$时，上升的最大高度为2R．故D正确．
故选：AD

点评 本题主要考查了机械能守恒定律在圆周运动中的运用，要判断在竖直方向圆周运动中哪些位置速度可以等于零，哪些位置速度不可以等于零，难度适中