Question

如图所示，在倾角θ=30°的斜面上放置一段凹槽B，B与斜面间的动摩擦因数μ=，槽内靠近右侧壁处有一小球A，它到凹槽内左壁侧的距离d=0.10m．A、B的质量都为m=2.0kg，B与斜面间的最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，不计A、B之间的摩擦，斜面足够长．现同时由静止释放A、B，经过一段时间，A与B的侧壁发生碰撞，碰撞过程不损失机械能，碰撞时间极短．取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）A与B的左侧壁第一次发生碰撞后瞬间A、B的速度．
（2）在A与B的左侧壁发生第一次碰撞后到第二次碰撞前的这段时间内，A与B的左侧壁的距离最大可达到多少？

Answer 1

解：（1）A在凹槽内，B受到的滑动摩擦力 f=μ?2mgcosθ=10N
B所受重力沿斜面的分力 G₁=mgsinθ=10N
因为G₁=f，所以B受力平衡，释放后B保持静止
释放A后，A做匀加速运动，由牛顿定律和运动学规律得
mgsinθ=ma₁

解得A的加速度和碰撞前的速度分别为 a₁=5m/s²，v₁=1.0m/s²．
A、B发生碰撞，动量守恒 mv₁=mv₁′+mv₂′⑥碰撞过程不损失机械能，得 =+ ⑦
解得第一次发生碰撞后瞬间A、B的速度分别为
v₁′=0，v₂′=1.0 m/s（方向沿斜面向下） ⑧
（2）A、B第一次碰撞后，B做匀速运动，A做匀加速运动，加速度仍为a₁
s₁′=，v_A=a₁t
经过时间t₁，A的速度与B相等，A与B的左侧壁距离达到最大，即
a₁t₁=v₂′
又s=s₂′-s₁′
代入数据解得A与B左侧壁的距离
s=0.10m
因为s=d，A恰好运动到B的右侧壁，而且速度相等，所以A与B的右侧壁恰好接触但没有发生碰撞．因此A与B的左侧壁的距离最大可达到0.10m．
答：
（1）A与B的左侧壁第一次发生碰撞后瞬间A、B的速度分别是0和1.0m/s．
（2）在A与B的左侧壁发生第一次碰撞后到第二次碰撞前的这段时间内，A与B的左侧壁的距离最大可达到0.10m．
分析：（1）由静止释放A、B，A在凹槽内，B受到的滑动摩擦力f=μ?2mgcosθ，B所受重力沿斜面的分力G₁=mgsinθ，由计算得到f=G₁，说明B仍保持静止，A做匀加速运动，牛顿定律和运动学规律求出A与B碰撞前的速度大小．A与B的侧壁发生碰撞，碰撞过程不损失机械能，碰撞时间极短，动量和机械能均守恒，可求出A与B的左侧壁第一次发生碰撞后瞬间A、B的速度．
（2）A、B第一次碰撞后，B做匀速运动，A做匀加速运动，加速度不变，当A的速度与B相等，A与B的左侧壁距离达到最大．由位移公式和速度求出最大距离．
点评：本题是复杂的力学综合题，分析运动情况，把握每个过程的物理规律是关键．对于A、B的碰撞过程，属于弹性碰撞过程，两者质量相等，交换速度．