Question

12．如图所示，光滑绝缘的细圆管弯成半径为R的半圆形，固定在竖直面内，管口B、C的连线是水平直径．现有一带正电的小球（可视为质点）从B点正上方的A点自由下落，A、B两点间距离为4R．从小球进入管口开始，整个空间中突然加上一个匀强电场，电场力在竖直向上的分力大小与重力大小相等，结果小球从管口C处脱离圆管后，其运动轨迹经过A点．设小球运动过程中带电量没有改变，重力加速度为g，求：
（1）小球到达B点的速度大小；
（2）小球受到的电场力的大小．

Answer 1

分析 （1）小球下落过程只有重力做功，根据机械能守恒定律列式求解；
（2）小球从B到C过程，只有电场力做功，根据动能定理列式；小球离开C点后，竖直方向做匀速运动，水平方向做加速运动，根据平抛运动的知识列式求解；

解答 解：（1）小球从开始自由下落到到达管口B的过程中机械能守恒，故有：
mg×4R=$\frac{1}{2}$mv_B²
到达B点时速度大小为：v_B=$\sqrt{8gR}$
（2）设电场力的竖直分力为F_y，水平分力为F_x，则有：F_y=mg
小球从B运动到C的过程中，由动能定理得：
-Fx•2R=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B²
小球从管口C处脱离管后，做类平抛运动，由于经过A点，所以有：
y=4R=v_ct
x=2R=$\frac{1}{2}$a_xt²=$\frac{{F}_{x}}{2m}{t}^{2}$
联立解得：F_x=mg
电场力的大小为：F=qE=$\sqrt{{F}_{x}^{2}+{F}_{y}^{2}}$=$\sqrt{2}$mg；
方向与水平向左成45°斜向上．
答：答：（1）小球到达B点的速度大小为$\sqrt{8gR}$；
（2）小球受到的电场力大小为$\sqrt{2}$mg

点评 本题考查带电粒子在电场和重力场中的运动，解题的关键在于正确运用正交分解法，将小球的运动沿水平方向和竖直方向正交分解，然后运用牛顿运动定律和动能定理列式求解