Question

19．如图所示，在倾角为θ的光滑斜面顶端有一个小物体A自静止开始下滑，同时另一个小物体B自静止开始由斜面底端向左以恒定的加速度a沿光滑水平面运动，A滑下后沿斜面底部光滑小圆弧平稳进入水平面，且匀速向B追去，为使A能追上B，B的加速度的最大值为多大？已知小物体在光滑斜面上下滑的加速度为gsinθ．

Answer 1

分析 B做加速度为a的匀加速直线运动，A先做匀加速直线运动，然后做匀速直线运动，A要追上B，则追上B时的速度必大于等于B的速度．求出临界情况，即当B的加速度最大时，此时A追上B时，两者速度恰好相等．根据位移关系，根据运动学公式去求加速度的最大值．

解答 解：设斜面长L，则小球A在斜面上运动的时间为：
${t}_{1}=\sqrt{\frac{2L}{a}}=\sqrt{\frac{2L}{gsinθ}}$，
末速度为：v=$\sqrt{2aL}=\sqrt{2gLsinθ}$，
当小球A刚好能追上B时，两球的速度大小相等，即v=at，
位移为：${x}_{B}=\frac{{v}^{2}}{2a}$，
水平面上A球的位移为：x_A=v（t-t₁），
两球相遇位移相等，有：$\frac{{v}^{2}}{2a}=v（t-{t}_{1}）$，
即：$\frac{2gLsinθ}{2a}=\sqrt{2gLsinθ}$×$（\frac{\sqrt{2gLsinθ}}{a}-\sqrt{\frac{2L}{gsinθ}}）$．
解得：a=$\frac{1}{2}gsinθ$．
答：为使A能追上B，B的加速度的最大值为$\frac{1}{2}gsinθ$．

点评 解决本题的关键知道要追上B，则追上B时的速度必大于等于B的速度．然后根据临界情况去解决问题，即当B的加速度最大时，此时A追上B时，两者速度恰好相等．