Question

19．两根平行的导电轨道MN、PQ右端置于水平面上，左端与水平面成37°角，整个轨道处于竖直向上的匀强磁场中，导体棒ab与左侧轨道垂直放置，导体棒cd与右侧轨道垂直放置，如图甲所示．已知轨道间距L=1m，匀强磁场的磁感应强度B=1T，两导体棒的质量均为m=1kg，电阻R_ab=2R_cd=10Ω，导体棒ab与轨道之间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，导体棒cd与轨道之间无摩擦力，导电轨道的电阻不计．当导体棒cd受到外力F（图中未画出）作用，在水平面内按图乙所示正弦规律往复运动（规定cd棒向右运动为正方向）时，导体棒ab始终保持静止状态．求：

（1）导体棒cd两端电压u_cd随时间t变化的规律；
（2）0～5s内外力F做的功W；
（3）导体棒ab与倾斜轨道间动摩擦因数的最小值μ．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律求出感应电动势然后即可求出cd两端的电压
（2）根据交流电规律求出有效值，然后求出功
（3）当导体棒受力平衡时，电流I最大且f达到最大静摩擦力时，要求棒与轨道之间的动摩擦因数最大，此为满足题意的最小值

解答 解：（1）导体棒cd运动所产生的感应电动势  E=BLv=1×1×6sin$（\frac{π}{2}t）$=6sin$（\frac{π}{2}）t$
回路中的电流i=$\frac{E}{{R}_{ab}+{R}_{cd}}$=$\frac{2}{5}sin（\frac{π}{2}）t$
所以导体棒cd两端的电压U_cd=IR_ab=4sin$（\frac{π}{2}）t$V
（2）由（1）问知，导体棒中的电流是正弦式交流电，
其有效值 I=$\frac{\sqrt{2}}{2}{I}_{m}$A
5s内整个回路所产生的热量  Q=I²（R_ab+R_cd）t=（$\frac{\sqrt{2}}{5}$）²×15×5=6J
导体棒cd增加的动能为E_K=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$=$\frac{1}{2}×1×{6}^{2}=18$J
所以，在这5s内外力F做的功W=Q+E_k=24J
（3）分析可知，当导体棒ab受力如图所示，电流I最大且f达到最大静摩擦力时，要求棒与轨道之间的动摩擦因数最大，此为满足题意的最小值
由力的平衡有f=BILcos37°+mgsin37°
N+BILsin37°=mgcos37°
联立得μ=$\frac{mgsin37°+BILcos37°}{mgcos37°-BILsin37°}$
从而，导体棒ab与轨道之间的动摩擦因数的最小值μ=0.81
答：（1）导体棒cd两端电压u_cd随时间t变化的规律为4sin$（\frac{π}{2}）t$；
（2）0～5s内外力F做的功W为24J；
（3）导体棒ab与倾斜轨道间动摩擦因数的最小值μ为0.81．

点评 本题考查了电磁感应中的力电综合题型，是高考常见的题型，受力分析时注意安培力表达式的推导，解决方法和力学方法一样．