Question

（2008?四川）两个可视为质点的小球a和b，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图所示．己知小球a和b的质量之比为

3

，细杆长度是球面半径的

2

倍．两球处于平衡状态时，细杆与水平面的夹角θ是（　　）

A．45°

B．30°

C．22.5°

D．15°

Answer 1

分析：分别对两小球受力分析，由弹力的特点确定弹力的方向，由共点力的平衡可条件可得出杆对球的弹力，由几何关系求得球面对小球的作用力．再对整体由整体法可得出夹角．

解答：解：设细杆对两球的弹力大小为T，小球a、b的受力情况如图所示，
其中球面对两球的弹力方向指向圆心，即有cos α=

2 R 2

R

=

2

2

解得：α=45°
故F_Na的方向为向上偏右，即β₁=

π

2

-45°-θ=45°-θ
F_Nb的方向为向上偏左，即β₂=

π

2

-（45°-θ）=45°+θ
两球都受到重力、细杆的弹力和球面的弹力的作用，过O作竖直线交ab于c点，设球面的半径为R，由相似三角形可得：

mag

OC

=

FNa

R

mbg

OC

=

FNb

R

解得：F_Na=

3

F_Nb；
取a、b及细杆组成的整体为研究对象，由平衡条件得：水平方向上有：
F_Na?sin β₁=F_Nb?sin β₂
即 F_Na?sin（45°-θ）=F_Nb?sin（45°+θ）
解得：θ=15°．
故选D．

点评：①利用平行四边形（三角形）定则分析物体的受力情况属于常见方法，掌握好这种方法的关键在于深刻地理解好“在力的图示中，有向线段替代了力的矢量”
②在理论上，本题也可用隔离法分析小球a、b的受力情况，根据正交分解法分别列平衡方程进行求解，但是求解三角函数方程组时难度很大．故本题采用了水平向上由整体列平衡方程求解的方法．