Question

4．如图所示为一电磁选矿、传输一体机的传送带示意图，已知传送带由电磁铁组成，位于A轮附近的铁矿石被传送带吸引后，会附着在A轮附近的传送带上，被选中的铁矿石附着在传送带上与传送带之间有恒定的电磁力作用且电磁力垂直于接触面，且吸引力为其重力的1.4倍，当有铁矿石附着在传送带上时，传送带便会沿顺时针方向转动，并将所选中的铁矿石送到B端，由自动卸货装置取走．已知传送带与水平方向夹角为53°，铁矿石与传送带间的动摩擦因数为0.5，A、B两轮间的距离为L=64m，A、B两轮半径忽略不计，g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）若传送带以恒定速率v₀=10m/s传动，求被选中的铁矿石从A端运动到B所需要的时间；
（2）若所选铁矿石质量为200kg，求在（1）条件下铁矿石与传送带之间产生的热量；
（3）实际选矿传送带设计有节能系统，当没有铁矿石附着传送带时，传送带速度几乎为0，一旦有铁矿石吸附在传送带上时，传送带便会立即加速启动，要使铁矿石最快运送到B端，传送带的加速度至少为多大？并求出最短时间．

Answer 1

分析 （1）物体放在传送带上后，开始阶段，传送带的速度大于物体的速度，传送带给物体一沿斜面向上的滑动摩擦力，物体由静止开始加速下滑，当物体加速至与传送带速度相等时，物体做匀速直线运动，由此求出时间，然后求出两段时间的和即可；
（2）根据摩擦生热特点可知Q=f△s即可求出；
（3）只有铁矿石一直加速运动到B点时，所用时间才会最短，根据问题（1）的加速度，由位移公式即可求出．

解答 解：（1）当传送带匀速向上传动时，对铁矿石受力分析如图所示，铁矿石受到沿传送带向上的摩擦力、重力、吸引力和支持力作用，根据牛顿第二定律可得
沿传送带方向f-mgsinθ=ma 
垂直传送带方向：N-mgcosθ-F=0
其中f=μN
解得：a=2 m/s²
则铁矿石运动则与传送带速度相等所需要的时间为：
t₁=$\frac{{v}_{0}}{a}=\frac{10}{2}=5$s 
对应的位移为：
x₁=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$=$\frac{1}{2}×2×{5}^{2}$=25m 
根据以上计算可知，铁矿石在传送带上受到的滑动摩擦力大于铁矿石重力沿传送带方向的分力，所以当铁矿石的速度与传送带速度相等以后，铁矿石会随传送带匀速运动到B端，则其匀速运动时间为：
t₂=$\frac{L-x}{{v}_{0}}=\frac{64-25}{10}$=3.9s
所以铁矿石从传送带的A端运动到B端所需要的时间为：t=t₁+t₂=8.9s
（2）铁矿石与传送带之间滑动时有热量产生，当铁矿石与传送带相对静止时，没有热量产生．由以上计算可知铁矿石与传送带之间的相对运动距离为：
△s=v₀t₁-x₁=25m
根据摩擦生热特点可知Q=f△s
解得：Q=5×10⁴J
（3）只有铁矿石一直加速运动到B点时，所用时间才会最短，根据问题（1）分析可知，铁矿石在传送带上的最大加速度是2m/s²，所以传送带的最小加速度为：
α_min=2m/s² 
则有：L=$\frac{1}{2}$at² 
代入数据解得最短时间为：t'=8s
答：（1）若传送带以恒定速率v₀=10m/s传动，被选中的铁矿石从A端运动到B所需要的时间是3.9s；
（2）若所选铁矿石质量为200kg，在（1）条件下铁矿石与传送带之间产生的热量是5×10⁴J；
（3）要使铁矿石最快运送到B端，传送带的加速度至少为2m/s²，最短时间是8s．

点评 从上述例题可以总结出，皮带传送物体所受摩擦力可能发生突变，不论是其大小的突变，还是其方向的突变，都发生在物体的速度与传送带速度相等的时刻．