Question

两颗卫星在同一轨道平面内绕地球做匀速圆周运动，地球半径为R，a卫星离地面的高度为R，b卫星离地面的高度为3R，则a、b两卫星周期之比多大？若某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方，a卫星至少经过多少个周期两卫星相距最远？

Answer 1

分析：卫星做速圆周运动，根据开普勒第三定律--周期定律可求周期之比．某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方，当两颗卫星转动角度相差π时，相距最远．

解答：解：（1）由题两卫星的轨道分别为 R_a=2R，R_b=4R
由开普勒行星运动规律

R3

T2

=k，k相同，则得

R 3 a

T 2 a

=

R 3 b

T 2 b

所以T_a：T_b=

R

3 2 a

：

R

3 2 b

=1：2

2

 
（2）设经过t时间 二者第一次相距最远，若两卫星同向运转，此时a比b多转π角度，
则 

2π

Ta

?t-

2π

Tb

?t=π
这段时间a经过的周期数为n=

t

Ta

解得，n=

4+ 2

7

若卫星反向运转，则

2π

Ta

?t′+

2π

Tb

?t′=π
这段时间a经过的周期数为n′=

t′

Ta

解得，n′=

4- 2

7

答：a、b两卫星周期之比为1：2

2

，若某时刻两卫星正好同时通过地面上同一点的正上方，a卫星至少经过

4+ 2

7

或

4- 2

7

个周期两卫星相距最远．

点评：本题既可应用万有引力提供向心力求解，也可应用开普勒行星运动定律求解，以后者较为方便，两卫星何时相距最远的求解，要分同向运转与反向运转两种情形，用到的数学变换相对较多，增加了本题难度．