Question

20．如图所示，平等金属导轨间距为L，与水平面间的夹角为θ，导轨电阻不计，两端分别与阻值为2R的定值电阻相连，匀强磁场垂直穿过导轨平面，磁感应强度为B．有一质量为m，长为L的导体棒从ab位置获得平行于斜面的大小为v的初速度向上运动，最远到达a′b′的位置，已知上滑过程中流过导体棒的电荷量为q，导体棒的电阻为R，与导轨之间的动摩擦因数为μ．
（1）求上滑过程中导体棒受到的最大安培力；
（2）求上滑过程中两电阻产生的热量．

Answer 1

分析 （1）导体棒向上做减速运动，开始时速度最大，产生的感应电流最大，受到的安培力最大，由E=Blv、I=$\frac{E}{{R}_{总}}$、F_A=BIl求出最大安培力．
（2）由法拉第电磁感应定律、欧姆定律和电量公式得到棒上移的最大距离s，再由能量守恒定律研究回路产生的总热量．

解答 解：（1）导体棒产生的感应电动势 E=BLv
电路中总电阻为2R，根据闭合电路的欧姆定律得 I=$\frac{E}{{R}_{总}}$=$\frac{E}{R+R}$=$\frac{E}{2R}$
由F_安=BIL得：联立得安培力的最大值 F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$
（2）设从ab到a′b′的距离为s，由$\overline E=\frac{△Φ}{△t}$、$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{2R}$、q=$\overline{I}$△t、△Φ=BLs   
解得 s=$\frac{2qR}{BL}$
由能量守恒定律可知：导体棒的动能减少量应该等于导体棒重力势能的增加量以及克服安培力做功产生的电热和克服摩擦阻力做功产生的内能，则
  $\frac{1}{2}$mv²=mgssin θ+μmgscos θ+Q_电热
联立得：${Q_{电热}}=\frac{1}{2}m{v^2}-（sinθ+μcosθ）\frac{2qRmg}{Bl}$
导体棒的电阻与两电阻的总阻值相等，电流相等，故导体棒产生的电热与两电阻产生的电热相等，故$Q=\frac{1}{2}{Q_{电热}}=\frac{1}{4}m{v^2}-（mgsinθ+μmgcosθ）\frac{qR}{Bl}$
答：（1）上滑过程中导体棒受到的最大安培力为$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{2R}$；（2）上滑过程中两电阻产生的热量是$\frac{1}{4}m{v}^{2}$-（mgsinθ+μmgcosθ）$\frac{qR}{BL}$．

点评 本题考查电磁感应定律的应用，意在考查考生的分析综合能力．从两个角度研究电磁感应现象，一是力的角度，关键是推导安培力的表达式；二是能量的角度，关键分析涉及几种形式的能，分析能量是如何转化的．