Question

2．我国向月球发射一颗绕月探测卫星“嫦娥一号”，“嫦娥一号”进入月球轨道后，在距离月球表面高为h的轨道上绕月球做匀速圆周运动．已知月球半径为R_月，月球表面的重力加速度为g_月，万有引力常量为G．
（1）月球质量表达式；
（2）“嫦娥一号”环绕月球运行的周期；
（3）若地球半径为R_地，地球表面的重力加速度为g地，且有R_月=$\frac{{R}_{地}}{4}$，g_月=$\frac{{g}_{地}}{6}$，则近月卫星的运行速度与近地卫星运行速度的比值约为多少？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力等于重力，求出月球质量的表达式；
（2）根据万有引力提供向心力，求出“嫦娥一号”环绕月球运行的周期；
（3）根据重力提供向心力得出速度的表达式，结合半径和重力加速度之比求出近月卫星的运行速度与近地卫星运行速度的比值．

解答 解：（1）根据$G\frac{Mm}{{{R}_{月}}^{2}}=m{g}_{月}$得，月球的质量M=$\frac{{g}_{月}{{R}_{月}}^{2}}{G}$．
（2）根据$G\frac{Mm}{（{R}_{月}+h）^{2}}=m（{R}_{月}+h）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（{R}_{月}+h）^{3}}{GM}}$，
又GM=$g{{R}_{月}}^{2}$，
解得T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（{R}_{月}+h）^{3}}{g{{R}_{月}}^{2}}}$．
（3）根据mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得，v=$\sqrt{gR}$，
因为$\frac{{R}_{月}}{{R}_{地}}=\frac{1}{4}$，$\frac{{g}_{月}}{{g}_{地}}=\frac{1}{6}$，
则$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\sqrt{\frac{1}{24}}$=0.2．
答：（1）月球质量表达式为M=$\frac{{g}_{月}{{R}_{月}}^{2}}{G}$；
（2）“嫦娥一号”环绕月球运行的周期为$\sqrt{\frac{4{π}^{2}（{R}_{月}+h）^{3}}{g{{R}_{月}}^{2}}}$．
（3）近月卫星的运行速度与近地卫星运行速度的比值约为0.2．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要推论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．