Question

16．如图所示，遥控电动赛车（可视为质点）从A点由静止出发，经过时间t后关闭电动机，赛车继续前进至B点后进入固定在竖直平面内的圆形光滑轨道，通过轨道最高点P后又进入水平轨道CD上．已知赛车在水平轨道AB部分和CD部分运动时受到的阻力恒为车重的0.5倍，即k=$\frac{{F}_{f}}{mg}$=0.5，赛车的质量m=0.4kg，通电后赛车的电动机以额定功率P=20W工作，轨道AB的长度足够长，圆形轨道的半径R=0.5m，空气阻力可忽略，重力加速度g取10m/s²．某次比赛，要求赛车以最大的速度进入轨道，则在此条件下，求：
（1）赛车最大速度是多少？
（2）赛车以最大速度到达轨道B点时，对轨道的压力是多大？赛车以此速度能否完成圆轨道运动？
（3）赛车在CD轨道将滑行多少距离才能停下．

Answer 1

分析 （1）当赛车的牵引力等于阻力时，速度达到最大，根据功率和阻力的大小求出最大速度的大小．
（2）根据牛顿第二定律求出赛车在圆轨道B点所受的支持力，从而得出赛车对轨道的压力大小．根据机械能守恒定律求出P点的速度，结合P点的最小速度判断能否完成圆轨道运动．
（3）C点的速度等于B点的速度，结合动能定理求出赛车在CD轨道将滑行的距离．

解答 解：（1）赛车功率恒定，当F=F_f时，v达最大  又因为F_f=kmg
故有P=Fv=F_f v_max 
代入数据得v_max=10 m/s．    
（2）赛车到达B点时，开始做圆周运动，对B点有
F_N-mg=m$\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$
v_B=v_max=10 m/s
代入数据解得F_N′=F_N=84 N   
赛车能够完成圆轨道运动，要求其到最高点时的速度不能小于临界速度v₀
恰好过最高点时     mg=$m\frac{{{v}_{0}}^{2}}{R}$
解得v₀=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{5}$ m/s
设以最大速度到最高点速度为v_P，根据机械能守恒，有
$\frac{1}{2}m{{v}_{max}}^{2}=mg2R+\frac{1}{2}m{{v}_{P}}^{2}$
代入数据解得v_P=4$\sqrt{5}$ m/s＞$\sqrt{5}$ m/s      
所以赛车可以以最大速度进入轨道而完成圆轨道运动．
（3）由于圆轨道光滑，故有v_C=v_B=10 m/s
设小车在CD轨道上运动的距离为x，
由动能定理可得：-kmgx=0-$\frac{1}{2}$$m{{v}_{C}}^{2}$
代入数据可得x=10 m．
答：（1）赛车最大速度为10m/s；
（2）赛车以最大速度到达轨道B点时，对轨道的压力是84N，赛车以此速度能完成圆轨道运动．
（3）赛车在CD轨道将滑行10m距离才能停下．

点评 本题考查了动能定理、机械能守恒定律、牛顿第二定律的综合运用，知道圆周运动向心力的来源以及最高点的临界情况是解决本题的关键．