Question

如图所示，AB是一个半径为R的圆弧（B点切线水平且距地面高也为R），在AB的圆弧轨道。上放一个半径也为R的带钩的小圆弧片CD，再在CD的D端放一个质量为m的小物块（可视为质点），已知小物块与CD弧片间动摩擦因数为。现沿圆弧AB缓缓向上拉动CD弧片，直到小物块开始滑离CD弧片为止（计算时，可以认为最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小）。则：

（1）此过程中，CD弧片对小物块的静摩擦力对其所做的功为多少?

（2）若小物块滑离CD沿AB轨道下滑又从B端滑出，并做平抛运动，而后落到离E点水平距离也为R的水平地面上，则AB弧对小物块的滑动摩擦力对其所做的功为多少?

Answer 1

（1）拉着CD弧片沿圆弧轨道AB缓缓向上运动过程中,对小物块进行受力分析,共受到重力mg、支持力F_N和静摩擦力F₀三个力的作用,设物块与O点的连线与竖直方向的夹角为θ,那么,有

 F_N=mgcosθ 

当θ从零开始逐渐增大的过程中,F_N逐渐减小,CD弧片能够给小物块的最大静摩擦力F₀=μFN=mgcosθ越来越小,而引起小物块沿CD弧片下滑趋势的重力的沿圆弧轨道的切线方向的分力mgsinθ却在逐渐增大,当F₀=mgsinθ时,物块即将离开弧片CD而下滑,设此时θ=θ₀,

则         

故此过程中物块沿圆弧AB上升的高度为

           

由功能关系得静摩擦力所做的功为

（2）设物块离开AB做平抛运动的初速度为v₀,由平抛运动规律得:

R=v₀t,        R=     

∴             

设物块沿AB弧下滑过程中,滑动摩擦力所做的功为W₂,则根据动能定理得:

∴W₂=－mgR/4