Question

如下图所示，让摆球从图中的C位置由静止开始摆下，摆到最低点D处，摆线刚好被拉断，小球在粗糙的水平面上由D点向右做匀减速运动，到达小孔A进入半径R=0.3m的竖直放置的光滑圆弧轨道，当摆球进入圆轨道立即关闭A孔。已知摆线长L=2m，θ=60°，小球质量为m=0.5kg，D点与小孔A的水平距离s=2m，g取10m/s²。试求：
（1）求摆线能承受的最大拉力为多大？
（2）要使摆球能进入圆轨道并且不脱离轨道，求粗糙水平面动摩擦因数μ的范围。

Answer 1

解：（1）当摆球由C到D运动机械能守恒：mg(L-L)=mv_D² 
由牛顿第二定律可得：F_m - mg =m
可得：F_m=2mg=10N 
（2）小球不脱圆轨道分两种情况：
①要保证小球能达到A孔，设小球到达A孔的速度恰好为零，由动能定理可得：
-μ₁mgs=0-mv_D²
可得：μ₁=0.5
若进入A孔的速度较小，那么将会在圆心以下做等幅摆动，不脱离轨道。其临界情况为到达圆心等高处速度为零
由机械能守恒可得：mv_A²=mgR  
由动能定理可得：-μ₂mgs=mv_A²-mv_D²
可求得：μ₂=0.35 
②若小球能过圆轨道的最高点则不会脱离轨道，在圆周的最高点由牛顿第二定律可得：mg=m
由动能定理可得：-μ₃mgs-2mgR=mv²-mv_D²
解得：μ₃=0.125
综上，所以动摩擦因数的范围为：0.35≤μ≤0.5或者μ≤0.125