Question

20．如图所示，一种特殊薄材料的隔离层与y轴重合，xOy平面中，x＜0的区域内有匀强电场，场强大小为E，方向沿x轴正向；x＞0的区域内有匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向外．一光滑绝缘材料制成的半圆形轨道固定在y轴右侧，半径为R，圆M坐标为（R、O），直径OQ在x轴上；一电荷量为+q，质量为m的微粒（不计重力）从x轴负半轴某处静止释放，经电场加速后通过隔离层，从O点沿X轴正向进入磁场，垂直打在P点，MP与竖直方向MN夹角α=30°，已知微粒与轨道碰撞过程时间极短可忽略不计，碰撞前后微粒电荷量及速度大小保持不变，速度方向与碰撞前相反．
（已知当|x|＜1，且当n→∞时，xⁿ=0）求：
（1）若不计微粒穿过隔离层的能量损失，则该微粒释放的坐标；
（2）该微粒第一次在磁场中运动的时间；
（3）若每次微粒穿过隔离层动能损失l0%，则该微粒最终停在何处．

Answer 1

分析 （1）微粒在电场中加速，在磁场中做匀速圆周运动，应用动能定理与牛顿第二定律求出微粒的轨道半径，然后求出微粒释放位置的坐标．
（2）求出微粒在磁场中做圆周运动的周期，根据微粒在磁场中转过的圆心角求出微粒的运动时间．
（3）分析清楚微粒的运动过程，求出微粒做圆周运动的轨道半径，然后求出微粒静止位置的坐标．

解答 解：（1）微粒在电场中加速，由动能定理得：qEx=$\frac{1}{2}$mv²-0，
微粒在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，由题意可知：r=2Rcos30°=$\sqrt{3}$R，
解得：x=$\frac{3q{B}^{2}{R}^{2}}{2mE}$，坐标为：（-$\frac{3q{B}^{2}{R}^{2}}{2mE}$，0）；
（2）微粒每次与轨道碰撞后等速率反弹，微粒运动轨迹如图所示：
微粒在磁场中做圆周运动的周期：T=$\frac{2πm}{qB}$，
微粒第一次在磁场中运动的时间：t=$\frac{3}{2}$T=$\frac{3πm}{qB}$；
（3）微粒前一次出磁场的动能E_K与下一次进磁场的动能间的关系：E_K′=$\frac{81}{100}$E_K，
微粒做圆周运动的轨道半径是前一次在磁场中做圆周运动半径的：$\frac{9}{10}$，
轨道半径成等比递减，最后离子停在y轴上，
y=2r+2r•$\frac{9}{10}$+2r•（$\frac{9}{10}$）²+2r•（$\frac{9}{10}$）³+…=20$\sqrt{3}$R，
则微粒停止位置的坐标为：（0，-20$\sqrt{3}$R）；
答：（1）若不计微粒穿过隔离层的能量损失，则该微粒释放的坐标为：（-$\frac{3q{B}^{2}{R}^{2}}{2mE}$，0）；
（2）该微粒第一次在磁场中运动的时间为：$\frac{3πm}{qB}$；
（3）若每次微粒穿过隔离层动能损失l0%，该微粒最终停止位置的坐标为：（0，-20$\sqrt{3}$R）．

点评 本题考查了带电微粒在电场与磁场中的运动，分析清楚微粒的运动过程是正确解题的关键，作出微粒的运动轨迹，应用动能定理与牛顿第二定律、粒子做圆周运动的周期公式可以解题；解题时注意数学归纳法、等比数列求和公式的应用．