Question

2．水平轨道AB，在B点处与半径R=300m的光滑弧形轨道BC相切，一个质量M=1.00kg的木块置于B处．以v=5.00m/s的水平速度冲上光滑弧形轨道BC，如图所示．已知木块与水平轨道AB的动摩擦因数 μ=0.5（cos5°=0.966；g取10m/s²）．试求：
（1）木块冲上光滑弧形轨道后，木块需经多长时间停止？
（2）木块最后所停位置距离B点多远？

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒，计算出木块上升的最大高度，木块在圆弧轨道BC上做简谐运动，类似于单摆，根据单摆的周期公式求木块在圆弧轨道上运动的时间．木块在水平面上做匀减速运动，由动量定理求时间，最后计算出木块冲上光滑弧形轨道后，木块需经多长时间停止；
（2）木块在水平面上做匀减速运动，利用平均速度求出木块最后所停位置距离B点多远．

解答 解：（1）木块沿斜面上滑，设上滑最大高度为h，由机械能守恒有：
Mgh=$\frac{1}{2}$Mv²
解得：h=1.25m
设最大摆角为α
则cosα=$\frac{R-h}{R}=\frac{300m-1.25m}{300}$=0.996＞cos5°，得：α＜5⁰，
因此木块在弧形轨道上做简谐运动
其周期为：T=$2π\sqrt{\frac{R}{g}}$=$2\sqrt{30}π$（s）
木块返回B点，机械能守恒，速率不变，向左滑动
在水平轨道由动量定理有：
μMgt₂=Mv
解得：t₂=1s
故木块运动的时间为：t=$\frac{T}{2}+{t}_{2}$=（1+$\sqrt{30}π$）s
（2）从B点向左滑动的平均速度大小为$\overline{v}$=$\frac{v}{2}$=2.5m/s
距离s=$\overline{v}$t₂=2.5m/s×1s=2.5m
答：（1）木块冲上光滑弧形轨道后，木块需经（1+$\sqrt{30}π$）s停止；
（2）木块最后所停位置距离B点2.5m．

点评 考查了利用单摆周期公式解决有关运动问题，解题关键是熟悉动量定理，机械能守恒定律等适用条件，分析物体运动过程，结合有关规律进行解答．