Question

(25分)从赤道上的C点发射洲际导弹，使之精确地击中北极点N，要求发射所用的能量最少.假定地球是一质量均匀分布的半径为R的球体，R=6400km.已知质量为m的物体在地球引力作用下作椭圆运动时，其能量E与椭圆半长轴a的关系为式中M为地球质量，G为引力常量.

　　

1.假定地球没有自转，求最小发射速度的大小和方向(用速度方向与从地心O到发射点C的连线之间的夹角表示).

2.若考虑地球的自转，则最小发射速度的大小为多少？

3.试导出。

Answer 1

解析：

1.这是一个大尺度运动，导弹发射后，在地球引力作用下将沿椭圆轨道运动.如果导弹能打到N点，则此椭圆一定位于过地心O、北极点N和赤道上的发射点C组成的平面(此平面是C点所在的子午面)内，因此导弹的发射速度(初速度v)必须也在此平面内，地心O是椭圆的一个焦点.根据对称性，注意到椭圆上的C、N两点到焦点O的距离相等，故所考察椭圆的长轴是过O点垂直CN的直线，即图上的直线AB，椭圆的另一焦点必在AB上.已知质量为m的物体在质量为M的地球的引力作用下作椭圆运动时，物体和地球构成的系统的能量E(无穷远作为引力势能的零点)与椭圆半长轴a的关系为(1)

　　要求发射的能量最少，即要求椭圆的半长轴a最短.根据椭圆的几何性质可知，椭圆的两焦点到椭圆上任一点的距离之和为2a，现C点到一个焦点O的距离是定值，等于地球的半径R，只要位于长轴上的另一焦点到C的距离最小，该椭圆的半长轴就最小.显然，当另一焦点位于C到AB的垂线的垂足处时，C到该焦点的距离必最小.由几何关系可知

　　　　(2)

　　设发射时导弹的速度为v，则有

　　　　(3)

　　解(1)、(2)、(3)式得　　(4)

　　因　　(5)

　　比较(4)、(5)两式得　　(6)

　　代入有关数据得v=7.2km/s　　(7)

　　速度的方向在C点与椭圆轨道相切.根据解析几何知识，过椭圆上一点的切线的垂直线，平分两焦点到该点连线的夹角∠OCP.从图中可看出，速度方向与OC的夹角

　　(8)

　　2.由于地球绕通过ON的轴自转，在赤道上C点相对地心的速度为(9)

　　式中R是地球的半径，T为地球自转的周期，T=24×3600s=86400s，故

　　v_C=0.46km/s(10)

　　C点速度的方向垂直于子午面(图中纸面).位于赤道上C点的导弹发射前也有与子午面垂直的速度v_C，为使导弹相对于地心速度位于子午面内，且满足(7)、(8)两式的要求，导弹相对于地面(C点)的发射速度应有一大小等于v_C、方向与v_C相反的分速度，以使导弹在此方向相对于地心的速度为零，导弹的速度的大小为

　　(11)

　　代入有关数据得v′=7.4km/s　　(12)

　　它在赤道面内的分速度与v_C相反，它在子午面内的分速度满足(7)、(8)两式.

　　3.质量为m的质点在地球引力作用下的运动服从机械能守恒定律和开普勒定律，故对于近地点和远地点有下列关系式

　　　　(13)

　　　　(14)

　　式中v₁、v₂分别为物体在远地点和近地点的速度，r₁、r₂为远地点和近地点到地心的距离.将(14)式中的v₁代入(13)式，经整理得

　　　　(15)

　　注意到r₁+r₂=2a　　(16)

　　得　　(17)

　　因　　(18)

　　由(16)、(17)、(18)式得　　(19)

　　评分标准：(本题25分)

　　1.14分.(2)式6分，(3)式2分，(6)、(7)式共4分，(8)式2分.

　　2.6分.(11)式4分，(12)式2分.

　　3.5分.(13)、(14)式各1分，(19)式3分.