Question

6．据报道，美国国家航天航天局（NASA）首次在太阳系外发现“类地”行星Kepler-186f．若宇航员乘坐宇宙飞船到达该行星，进行科学观测：该行星自转周期为T，宇航员在该行星“北极”距该行星地面附近h处自由释放一个小球（引力视为恒力），落地时间为t．已知该行星半径为R，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）

• A． 该行星的第一宇宙速度为$\frac{\sqrt{2hR}}{t}$
• B． 该行星的平均密度为$\frac{3h}{2GπR{t}^{2}}$
• C． 如果该行星存在一颗同步卫星，其距行星表面高度为$\sqrt{\frac{h{T}^{2}{R}^{2}}{2{π}^{2}{t}^{2}}}$
• D． 宇宙飞船绕该星球做圆周运动的周期小于πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$

Answer 1

分析 根据自由落体运动的位移时间公式求出行星表面的重力加速度，结合重力提供向心力求出行星的第一宇宙速度；根据万有引力等于重力求出行星的质量，结合密度公式求出行星的平均密度；根据万有引力提供向心力，求出行星同步卫星的轨道半径，从而得出卫星距离行星的高度．根据重力提供向心力求出宇宙飞船的最小周期．

解答 解：A、根据$h=\frac{1}{2}g{t}_{\;}^{2}$得，行星表面的重力加速度$g=\frac{2h}{{t}_{\;}^{2}}$，根据$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$得，行星的第一宇宙速度$v=\sqrt{gR}=\frac{\sqrt{2hR}}{t}$，故A正确；
B、根据$mg=G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}$得，行星的质量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}$，则行星的平均密度$ρ=\frac{M}{\frac{4π{R}_{\;}^{3}}{3}}=\frac{3g}{4πRG}=\frac{3h}{2GπR{t}_{\;}^{2}}$，故B正确；
C、根据$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）$得，又$GM=g{R}_{\;}^{2}$，解得$h=\root{3}{\frac{h{T}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{2{π}_{\;}^{2}{t}_{\;}^{2}}}-R$，故C错误；
D、根据$mg=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}R$得，最小周期$T′=πt\sqrt{\frac{2R}{h}}$，那么飞船绕该星球做圆周运动的周期不小于πt$\sqrt{\frac{2R}{h}}$，故D错误；
故选：AB．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．