Question

（2006?重庆）如图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内．小球A、B质量分别为m、βm（β为待定系数）．A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为

1

4

R，碰撞中无机械能损失．重力加速度为g．试求：
（1）待定系数β；
（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力；
（3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度．

Answer 1

分析：（1）由题，碰撞中无机械能损失，以AB组成的系统研究，由机械能守恒定律研究A球从静止开始下滑到碰撞后A、B球达到的最大高度的过程，可求出待定系数β；
（2）碰撞后，A、B两球各自的机械能守恒，可求出碰撞后的速度，B球由轨道的支持力和重力的合力提供向心，由牛顿运动定律求解B球对轨道的压力；
（3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞过程，根据机械能守恒和动量守恒，求出小球A、B碰撞后两球的速度，再进行讨论．

解答：解：（1）A球从静止开始下滑到碰撞后A、B球达到的最大高度的过程，由机械能守恒定律得
   mgR=

1

4

mgR+

1

4

βmgR
解得，β=3
（2）设A、B碰撞后的速度分别为v₁、v₂，则
则 

1

2

m

v

2 1

=

1

4

mgR
  

1

2

βm

v

2 2

=

1

4

βmgR
设向右方向正，向左为负，则得
   v₁=-

1 2 gR

，方向向左；
   v2=

1 2 gR

，方向向右．
设轨道对B球的支持力为N，B球对轨道的压力为N′，方向竖直向下为正
则由牛顿第二定律得
   N-βmg=βm

v 2 2

R

得，N=4.5mg
由牛顿第三定律得，N′=-N=-4.5mg，方向竖直向下．
（3）设A、B两球第二次碰撞刚结束时各自的速度分别为V₁、V₂，
由机械能守恒和动量守恒得
   mgR=

1

2

m

V

2 1

+

1

2

βm

V

2 2

-mv₁-βmv₂=mV₁+βmV₂
解得，V₁=-

2gR

，V₂=0．（另一组解：V₁=-v₁，V₂=-v₂，不合题意，舍去）
由此可得
  当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同； 
  当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同；
答：
（1）待定系数β是3．
（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度为-

1 2 gR

，方向向左和

1 2 gR

，方向向右；B球对轨道的压力是4.5mg，方向竖直向下．
（3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度分别是

2gR

和0，当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同；
当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞铡结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同；

点评：本题中两球发生弹性碰撞，遵守两大守恒：机械能守恒和动量守恒，要灵活选择研究对象和研究的过程，注意研究动量时，要选正方向，用正负号表示动量的方向．