Question

9．如图，固定在水平桌面上的“∠”型平行导轨足够长，间距L=1m，电阻不计．倾斜导轨的倾角θ=53°，并与R=2Ω的定值电阻相连．整个导轨置于磁感应强度B=5T、方向垂直倾斜导轨平面向上的匀强磁场中．金属棒ab、cd的阻值为R₁=R₂=2Ω，cd棒质量m=1kg．ab与导轨间摩擦不计，cd与导轨间的动摩擦因数μ=0.3，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力．现让ab棒从导轨上某处由静止释放，当它滑至某一位置时，cd棒恰好开始滑动．
（1）求此时通过ab棒的电流；
（2）求导体棒cd消耗的热功率与ab棒克服安培力做功的功率之比；
（3）若ab棒无论从多高的位置释放，cd棒都不动，则ab棒质量应小于多少？
（4）假如cd棒与导轨间的动摩擦因数可以改变，则当动摩擦因数满足什么条件时，无论ab棒质量多大、从多高位置释放，cd棒始终不动？

Answer 1

分析 （1）根据右手定则判断出ab棒产生的感应电流方向，确定出cd棒中感应电流方向，分析cd棒的受力情况，由平衡条件求解电流．
（2）根据题意画出等效电路如图所示：电阻R与cd棒并联，分析各部分电流关系，由功率公式求解即可．
（3）抓住ab棒匀速运动，cd棒都未滑动，分别对ab棒和cd棒分析，抓住cd棒安培力在水平方向上的分力小于最大静摩擦力，求出ab棒质量满足的条件．
（4）ab棒下滑时，cd棒始终静止，安培力的水平分力小于等于其最大静摩擦力，列出式子．当ab棒质量无限大，在无限长轨道上最终一定匀速运动，安培力F_A趋于无穷大，cd棒所受安培力F_A^ˊ亦趋于无穷大，讨论分析得解．

解答 解：（1）ab棒沿斜面滑下切割磁感线产生的感应电流的方向是b→a，通过cd棒的电流方向如图c→d．cd棒刚要开始滑动时，其受力分析如图所示．
由平衡条件得：BIL_cdcos53°=f
由摩擦力公式得：f=μN，N=mg+BIL_cdsin53°
联立以上三式，得：I_cd=1.67A，I_ab=2I_cd=3.34A 
（2）根据题意画出等效电路如图所示：
设I_cd=I，因为电阻R与cd棒并联，故电阻R上产生的热功率与cd棒产生的热功率相等，即：${P_R}={P_{cd}}={I^2}R$
又因为流经ab棒的电流为2I，故ab棒产生的热功率为：${P_{ab}}=4{I^2}R$
整个回路产生的热功率为：P=6I²R
又因为回路中消耗的热功率源于ab棒克服安培力做功，所以导体棒cd消耗的热功率与ab棒克服安培力做功的功率之比为：
 $\frac{Pcd}{PFA}$=$\frac{{{P_{cd}}}}{{{P_F}_A}}=\frac{{{I^2}R}}{{6{I^2}R}}=\frac{1}{6}$                       
（3）ab棒在足够长的轨道下滑时，最大安培力只能等于自身重力的分力，有：F_A=mg_absin53°
cd棒所受最大安培力应为$\frac{1}{2}{F_A}$，要使cd棒不能滑动，需：$\frac{1}{2}{F}_{A}cos53°$≤μ（mg+$\frac{1}{2}{F}_{A}sin53°$）
由以上两式联立解得：m_ab≤2.08kg                       
（4）ab棒下滑时，cd棒始终静止，有：$\frac{1}{2}$F_Acos53°≤μ（mg+$\frac{1}{2}$F_Asin53°）
解得：μ≥$\frac{\frac{1}{2}{F}_{A}cos53°}{mg+\frac{1}{2}{F}_{A}sin53°}$=$\frac{cos53°}{\frac{mg}{{F}_{A}}+sin53°}$
当ab棒质量无限大，在无限长轨道上最终一定匀速运动，安培力F_A趋于无穷大，cd棒所受安培力F_A^ˊ亦趋于无穷大，有：μ≥$\frac{cos53°}{sin53°}$=0.75    
答：（1）此时通过ab棒的电流为3.34A；
（2）导体棒cd消耗的热功率与ab棒克服安培力做功的功率之比为1：6；
（3）若ab棒无论从多高的位置释放，cd棒都不动，则ab棒质量应小于2.08kg．
（4）假如cd棒与导轨间的动摩擦因数可以改变，则当动摩擦因数满足μ≥0.75的条件时，无论ab棒质量多大、从多高位置释放，cd棒始终不动．

点评 本题是复杂的电磁感应现象，是电磁感应与力学知识、电路的综合，要能够正确地受力分析，抓住临界情况，结合共点力平衡和能量守恒进行求解．