Question

（20分）目前，大功率半导体激光器的主要结构形式是由许多发光区等距离地排列在一条直线上的长条状，通常称为激光二极管条．但这样的半导体激光器发出的是很多束发散光束，光能分布很不集中，不利于传输和应用．为了解决这个问题，需要根据具体应用的要求，对光束进行必需的变换（或称整形）．如果能把一个半导体激光二极管条发出的光变换成一束很细的平行光束，对半导体激光的传输和应用将是非常有意义的．为此，有人提出了先把多束发散光会聚到一点，再变换为平行光的方案，其基本原理可通过如下所述的简化了的情况来说明．

如图，S₁、S₂、S₃ 是等距离（h）地排列在一直线上的三个点光源，各自向垂直于它们的连线的同一方向发出半顶角为a =arctan的圆锥形光束．请使用三个完全相同的、焦距为f = 1.50h、半径为r =0.75 h的圆形薄凸透镜，经加工、组装成一个三者在同一平面内的组合透镜，使三束光都能全部投射到这个组合透镜上，且经透镜折射后的光线能全部会聚于z轴（以S₂为起点，垂直于三个点光源连线，与光束中心线方向相同的射线）上距离S₂为 L = 12.0 h处的P点．（加工时可对透镜进行外形的改变，但不能改变透镜焦距．）

1．求出组合透镜中每个透镜光心的位置；

2．说明对三个透镜应如何加工和组装，并求出有关数据。

Answer 1

解析：

1．考虑到使3个点光源的3束光分别通过3个透镜都成实像于P点的要求，组合透镜所在的平面应垂直于z轴，三个光心O₁、O₂、O₃的连线平行于3个光源的连线，O₂位于z轴上，如图1所示．图中表示组合透镜的平面，、、为三个光束中心光线与该平面的交点．  ＝ u就是物距．根据透镜成像公式

                   (1)

可解得

                                                                                                    

因为要保证经透镜折射后的光线都能全部会聚于P点，来自各光源的光线在投射到透镜之前不能交叉，必须有2utana ≤h即u≤2h．在上式中取“－”号，代入f 和L的值，算得

     ≈1.757h              (2)

此解满足上面的条件．         

分别作3个点光源与P点的连线．为使3个点光源都能同时成像于P点，3个透镜的光心O₁、O₂、O₃应分别位于这3条连线上（如图1）．由几何关系知，有

              (3)

即光心O₁的位置应在之下与的距离为

                                (4)

同理，O₃的位置应在之上与的距离为0.146h处．由(3)式可知组合透镜中相邻薄透镜中心之间距离必须等于0.854h，才能使S₁、S₂、S₃都能成像于P点．

2．现在讨论如何把三个透镜L₁、L₂、L₃加工组装成组合透镜．

因为三个透镜的半径r = 0.75h，将它们的光心分别放置到O₁、O₂、O₃处时，由于＝＝0.854h<2r，透镜必然发生相互重叠，必须对透镜进行加工，各切去一部分，然后再将它们粘起来，才能满足(3)式的要求．由于对称关系，我们只需讨论上半部分的情况．

图2画出了L₁、L₂放在平面内时相互交叠的情况（纸面为平面）．图中C₁、C₂表示L₁、L₂的边缘，、为光束中心光线与透镜的交点，W₁、W₂分别为C₁、C₂与O₁O₂的交点．

为圆心的圆1和以（与O₂重合）为圆心的圆2分别是光源S₁和S₂投射到L₁和L₂时产生的光斑的边缘，其半径均为

                          (5)

根据题意，圆1和圆2内的光线必须能全部进入透镜．首先，圆1的K点（见图2）是否落在L₁上？由几何关系可知

 (6)

故从S₁发出的光束能全部进入L₁．为了保证全部光束能进入透镜组合，对L₁和L₂进行加工时必须保留圆1和圆2内的透镜部分．

下面举出一种对透镜进行加工、组装的方法．在O₁和O₂之间作垂直于O₁O₂且分别与圆1和圆2相切的切线和．若沿位于和之间且与它们平行的任意直线对透镜L₁和L₂进行切割，去掉两透镜的弓形部分，然后把它们沿此线粘合就得到符合所需组合透镜的上半部．同理，对L₂的下半部和L₃进行切割，然后将L₂的下半部和L₃粘合起来，就得到符合需要的整个组合透镜．这个组合透镜可以将S₁、S₂、S₃发出的全部光线都会聚到P点．

现在计算和的位置以及对各个透镜切去部分的大小应符合的条件．设透镜L₁被切去部分沿O₁O₂方向的长度为x₁，透镜L₂被切去部分沿O₁O₂方向的长度为x₂，如图2所示，则对任意一条切割线， x₁、x₂之和为

                （7）

由于必须在和之间，从图2可看出，沿切割时，x₁达最大值(x_1M)，x₂达最小值(x_2m)，

代入r，r 和的值，得

                                               (8)

代入(7)式，得

                                 (9)

由图2可看出，沿切割时，x₂达最大值(x_2M)，x₁达最小值(x_1m)，

代入r和r 的值，得

                                              (10)

                             （11）

由对称性，对L₃的加工与对L₁相同，对L₂下半部的加工与对上半部的加工相同．

评分标准：

本题20分．第1问10分，其中（2）式5分，（3）式5分，

第2问10分，其中(5)式3分，(6)式3分，(7)式2分，(8)式、(9)式共1分，(10)式、(11)式共1分．

如果学生解答中没有(7)―(11)式，但说了“将图2中三个圆锥光束照射到透镜部分全部保留，透镜其它部分可根据需要磨去（或切割掉）”给3分，再说明将加工后的透镜组装成透镜组合时必须保证O₁O₂=O₁O₂=0.854h，再给1分，即给(7)―(11)式的全分（4分）．