Question

游乐场的过山车可以底朝上在圆轨道上运行，游客却不会掉下来，如图甲所示．我们把这种情况抽象为如图乙所示的模型：半径为R的圆弧轨道竖直放置，下端与弧形轨道相接，使质量为m的小球从弧形轨道上端无初速度滚下，小球进入圆轨道下端后沿圆轨道运动．实验表明，只要h大于一定值，小球就可以顺利通过圆轨道的最高点．（不考虑空气及摩擦阻力）
（1）若小球恰能通过最高点，则小球在最高点的速度为多大？此时对应的h多高？
（2）若h′=4R，则小球在通过圆轨道的最高点时对轨道的压力是多少？

Answer 1

分析：（1）小球恰能通过最高点，那么小球在最高点时应该是恰好是物体的重力作为物体的向心力，由向心力的公式可以求得此时的最小的速度，再由机械能守恒可以求得离地面的高度h．
（2）小球由静止运动到最高点的过程中，由机械能守恒定律求得最高点的速度，由牛顿运动定律求解小球在通过圆轨道的最高点时对轨道的压力．

解答：解：（1）小球恰能通过最高点，即小球通过最高点时恰好不受轨道的压力，重力提供向心力．由牛顿运动定律有：
mg=

mv2

R

小球在最高点处的速度至少为：v=

gR

                                                       
小球由静止运动到最高点的过程中，只有重力做功．由机械能守恒定律得：
mgh=

1

2

mv²+mg?2R
联立解得：h=2.5R．
（2）h′=4R时，小球由静止运动到最高点的过程中，由机械能守恒定律有：
mgh′=

1

2

mv′²+mg?2R
小球在最高点，在重力和轨道的压力作用下做圆周运动．由牛顿运动定律有：
N+mg=

mv′2

R

                                                   
联立解得：N=3mg．
根据牛顿第三定律得：小球在通过圆轨道的最高点时对轨道的压力是3mg．
答：（1）若小球恰能通过最高点，则小球在最高点的速度为

gR

，此时对应的h是2.5R．
（2）若h′=4R，则小球在通过圆轨道的最高点时对轨道的压力是3mg．

点评：本题属于圆周运动中绳的模型，在最高点时应该是重力恰好做为圆周运动的向心力，对于圆周运动中的两种模型一定要牢牢的掌握住．